¿Cómo hacer periódica una función?

Question

Tengo una pequeña ecuación aquí, $f\left(x\right)=\frac{4}{\pi ^2}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2-1$ que se aproxima muy bien (con cierta exactitud) a un período de la función seno, y luego se va a la nada (porque es una parábola). Usando la inversa de la función puedo obtener el otro periodo de la función seno.

¿Cómo "combino" estas dos ecuaciones (la ecuación y su inversa) para hacer una función periódica que represente $\sin\left(x\right)$ ?

Este gráfico de desmos puede ayudar.

Answer 1

Defínelo como periódico. Sea $y=x \pmod {2 \pi}$ entonces $$f(x)=\begin {cases} \frac 4{\pi^2}\left(y-\frac \pi 2\right)^2-1&0 \le y \le \pi\\-\frac 4{\pi^2}\left(y-\frac {3\pi} 2\right)^2-1&\pi \le y \le 2\pi\end {cases}$$ Esta es una buena función. Devuelve un valor único para cada entrada.