Norma del elemento $\alpha$ igual a la norma absoluta del ideal principal $(\alpha)$

Question

Sea $K$ sea un campo numérico, $A$ su anillo de enteros, $N_{K / \mathbf{Q}}$ la norma de campo habitual, y $N$ la norma absoluta de los ideales en $A$ .

En algunos libros de texto sobre teoría algebraica de números he visto el hecho: $\vert N_{K / \mathbf{Q}}(\alpha) \vert = N(\alpha A)$ para cualquier $\alpha \in A$ . Sin embargo, no he sido capaz de encontrar una prueba (ni en libros ni por mí mismo).

¿Puede alguien explicarme por qué esto es cierto?

Gracias.

Answer 1

Una forma de verlo es que ambos lados son iguales al valor absoluto del determinante del mapa $m_\alpha$ -- la multiplicación por $\alpha$ mapa en $A$ . En efecto, el lado izquierdo se define como dicha cantidad mientras que el lado derecho es el orden del cokernel de $m_\alpha$ .

Answer 2

Traduzca aquí la parte 3.5 del libro de Pierre Samuel, "Théorie algébrique de nombres" (perdón por la traducción seguramente deficiente).

3.5 Norma de un ideal

Sea $K$ sea un campo numérico, $n$ su grado, $A$ su anillo de enteros. Observamos $N(x)$ en lugar de $ N_{K / \mathbf{Q}}(x)$ .

Proposición 1 Si $x\ne 0$ es un elemento de $A$ entonces $|N(x)|=$ # $(A/Ax)$

( tenga en cuenta que $x\in A$ se tiene $N(x)\in \mathbb Z$ por lo que la fórmula anterior tiene sentido ).

Prueba Sabemos que $A$ es un $\mathbb Z$ -de rango $n$ ; el $\mathbb Z$ -módulo $Ax$ también es de rango $n$ porque la multiplicación por $x$ , $A\to Ax$ es un $\mathbb{Z}$ -isomorfismo de módulo. Sabemos que existe una base $(e_1,…..,e_n)$ de la $\mathbb Z$ -módulo $A$ y elementos $c_i$ de $\mathbb N$ tal que $(c_1e_1,…..,c_ne_n)$ es una base de $Ax$ . Por lo tanto $A/Ax$ es isomorfo a $\prod_{i=1}^n\mathbb Z/c_i\mathbb Z $ y su orden es igual a $c_1c_2…..c_n$ . Considere la $\mathbb Z$ -función lineal $u$ de $A$ en $Ax$ definido por $u(e_i)=c_ie_i$ ; $i=1,…..,n$ ; se tiene det $(u)=c_1c_2…..c_n$ . Además, $(xe_1,…..,xe_n)$ también es una base de $Ax$ por lo que tenemos un automorfismo $v$ de la $\mathbb Z$ -módulo $Ax$ tal que $v(c_ie_i)=xe_i$ de lo que se deduce que det $(v)$ es invertible en $\mathbb Z$ por lo que det $(v)=\pm 1$ y en consecuencia $v\circ u$ es la multiplicación por $x$ y su determinante es, por definición, $N(x)$ . Dado que det $(v\circ u)=$ det $(v)$ det $(u)$ se deduce que $N(x)=\pm c_1…..c_n=\pm$ # $(A/Ax)$ .

Answer 3

He escrito la prueba en el Lemma $3.3.3$ de mis apuntes de clase en teoría algebraica de números en la página $35$ . Utiliza tres $\mathbb{Q}$ -bases del campo numérico $K$ , $\mathbb{Z}$ -bases para el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ y el determinante para el diagrama conmutativo dado.