Para $n=2$ escalando la lista inicial de la pila por un factor entero positivo no afecta a la distribución de las probabilidades de ganar.
Para $n > 2$ las probabilidades de ganar siguen sin verse afectadas por un escalado de la lista de pila inicial.
Para explicar la invariabilidad, elija un jugador determinado y considere que el otro $n-1$ jugadores como un equipo. Entonces la invarianza para $n=2$ implica la invariancia para $n > 2$ .
Sin embargo, para $n > 2$ no podemos afirmar tal invariancia para rangos superiores a $1$ .
Para demostrarlo, tomemos $n=3$ .
Para una lista de pila inicial dada $X=[x_1,x_2,x_3]$ , dejemos que $P_X$ sea el $3{\times}3$ cuya matriz $ij$ -ésima entrada $P_X[i,j]$ es la probabilidad de que el jugador $i$ termina con el rango $j$ .
Entonces para $X=[1,2,3]$ obtenemos $$ {\large{P_X}} = \pmatrix{ \dfrac{1}{6} &\dfrac{259}{1182} &\dfrac{121}{197} \\ \dfrac{1}{3} &\dfrac{241}{591} &\dfrac{51}{197} \\ \dfrac{1}{2} &\dfrac{147}{394} &\dfrac{25}{197} \\ } $$ mientras que para $Y=[2,4,6]$ obtenemos $$ {\large{P_Y}} = \pmatrix{ \dfrac{1}{6} &\dfrac{537964919}{2460583662} &\dfrac{252086911}{410097277} \\ \dfrac{1}{3} &\dfrac{502077053}{1230291831} &\dfrac{106039167}{410097277} \\ \dfrac{1}{2} &\dfrac{306154879}{820194554} &\dfrac{51971199}{410097277} \\ } $$ Comparación de $P_X,P_Y$ mientras que las entradas de la primera columna (las probabilidades de ganar) son las mismas, las entradas de las otras columnas (rangos $2$ y $3$ ), aunque numéricamente muy próximas, no son iguales.
En cuanto a cómo se calcularon las matrices anteriores, he aquí un ejemplo para ilustrar el proceso. . .
Supongamos una lista de pila inicial de $[a_0,b_0,c_0]$ donde $a_0,b_0,c_0$ son enteros positivos con $b_0\le c_0$ .
Sea $s=a+b+c$ .
Para números enteros positivos $a,b,c$ con $b\le c$ y $a+b+c=s$ , dejemos que $p[a,b,c]$ es la probabilidad de que el jugador $1$ termina con el rango $3$ (es decir, jugador $1$ es el primero en salir), dada una lista de pila actual de $[a,b,c]$ .
Para cada triple $a,b,c$ tenemos la ecuación \begin{align*} p[a,b,c] =&\left({\small{\frac{1}{6}}}\right)\Bigl(\\[0pt] &{\phantom{\left({\small{\frac{1}{6}}}\right)\Bigl(}}{\phantom{+}}\;\,p[a-1,b+1,c]+p[a+1,b-1,c]\\[0pt] &{\phantom{\left({\small{\frac{1}{6}}}\right)\Bigl(}}+p[a-1,b,c+1]+p[a+1,b,c-1]\\[0pt] &{\phantom{\left({\small{\frac{1}{6}}}\right)\Bigl(}}+p[a,b-1,c+1]+p[a,b+1,c-1]\\[0pt] &{\phantom{\left({\small{\frac{1}{6}}}\right)}}\;\,\Bigr)\\[4pt] \end{align*} donde en el $\text{RHS}$ aplicamos las sustituciones $$ \left\lbrace \begin{align*} p[0,v,w]&=\,1\\[4pt] p[u,0,w]&=\,0\\[4pt] p[u,v,0]&=\,0\\[4pt] p[u,v,w]&=\,p[u,w,v]\;\,\text{if $v > w > 0$}\\[4pt] \end{align*} \right. $$ Así pues, tenemos un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación para cada triple cualitativo $a,b,c$ .
A continuación, para una lista de pila inicial de $[1,2,3]$ obtenemos un sistema de $6$ ecuaciones lineales en $6$ incógnitas que arroja $$ p[1,2,3]=\frac{121}{197}\approx .6142131980 $$ y para una lista de pila inicial de $[2,4,6]$ obtenemos un sistema de $30$ ecuaciones lineales en $30$ incógnitas que arroja $$ p[2,4,6]=\frac{252086911}{410097277}\approx .6147002800 $$
