Topología "algebraica" (topología convexa local más fina en un espacio vectorial)

Question

Sea $V$ ser un $\Bbb{R}$ -espacio vectorial. En el artículo que estoy leyendo, el autor quiere

"...equipar $V$ con una topología localmente convexa, llamada "topología algebraica" (también conocida como topología localmente convexa más fina), declarando que cualquier conjunto convexo $C$ tal que $int(C) = C$ está abierto".

¿Por qué es una topología? La unión de dos conjuntos convexos no es necesariamente convexa, por lo que la colección podría no ser cerrada bajo uniones arbitrarias. Pensé que, tal vez, el autor estaba afirmando que la colección formaba una base, pero no veo cómo forma una base. Por cierto, $int(C)$ denota el conjunto de puntos interiores "algebraicos"; es decir., $c \in C$ es un punto interior algebraico si para cada $v \in V$ hay un $t \in (0,1]$ tal que $(1-t)c + tv \in C$ .

Answer 1

Utilizar conjuntos convexos probablemente no sea la mejor manera de explicar la topología. Dado un espacio vectorial $V$ y un conjunto $A$ de seminormas sobre $V$ se puede definir una topología localmente convexa en $V$ . La definición exacta se explica aquí:

Duda en la comprensión del Espacio $D(\Omega)$

Un caso particular de esta construcción es cuando se toma por $A$ el conjunto de todas las seminormas sobre $V$ (denotado por $s(V)$ en el post enlazado más arriba). Así se obtiene la topología localmente convexa más fina. Es "algebraica" en el sentido de que la única entrada necesaria es la estructura algebraica de $V$ como espacio vectorial en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Para algunos $V$ es también la topología más adecuada para ese espacio. Ejemplos de ello son el espacio de secuencias casi finitas (o polinomios), así como el espacio de Schwartz-Bruhat sobre el $p$ -adics.

Por último, la relación con los conjuntos convexos es a través de la Teorema del Gauge de Minkowski pero creo que es un desvío innecesario y quizás pedagógicamente contraproducente.