Integración del producto de la función fracción y la función entero mayor

Question

Estoy intentando resolver $\int_0^{20} $ {x}.[x] dx. Sé cómo integrar [x] pero estoy confundido con este producto.

¿Puedo sustituir ${x} = x - [x]$ ?

Answer 1

La definición de la función de fracción para $x \geq 0$ lo es,

$$\{x\}=x - [x]$$

Así que tenemos,

$$\int_{0}^{20} [x] \{x \}dx$$

$$=\int_{0}^{20} [x](x-[x]) dx$$

$$=\int_{0}^{20} x[x] dx -\int_{0}^{20} [x]^2 dx$$

Partición $[0,20)$ en $\bigcup_{n=0}^{19} [n,n+1)$ . Para cada $x \in [n,n+1)$ con $n \in \mathbb{Z}$ tenemos $[x]=n$ . Esto da,

$$=\sum_{n=0}^{19} \int_{n}^{n+1} xn dx -\sum_{n=0}^{19} \int_{n}^{n+1} n^2 dx $$

$$=2565-2470$$

$$=95$$