Elevación de trayectorias homotópicas

Question

Sea $p:E\to B, e_0\to b_0$ sea un mapa de cobertura. Sea $f,g$ sean dos trayectorias desde $b_0$ a $b_1$ y que $\tilde f,\tilde g$ sean sus elevaciones a $B$ a partir de $e_0$ . Supongamos que $f,g$ son homotópicas. Estoy tratando de entender por qué las elevaciones deben ser homotópicas.

En primer lugar $F(s,t)$ sea una homotopía entre $f$ y $g$ : $$F(s,0)=f(s)\\F(s,1)=g(s)\\F(0,t)=b_0,\ F(1,t)=b_1$$

Tenga en cuenta que $F(0,0)=b_0$ . Por el Lemma 54.2 de Munkres:

Sea $p:E\to B$ sea un mapa de cobertura; sea $p(e_0)=b_0.$ Que el mapa $F:I\times I\to B$ sea continua, con $F(0,0)=b_0$ . Hay una elevación única de $F$ a un mapa continuo $$\tilde F:I\times I\to E$$ tal que $\tilde F(0,0)=e_0$ . Si $F$ es una homotopía de trayectoria, entonces $\tilde F$ es una homotopía de trayectoria.

existe un único levantamiento $\tilde F:I^2\to E$ tal que $\tilde F(0,0)=e_0$ . Además, el lema garantiza que $\tilde F$ es una homotopía de trayectoria. Entonces sabemos que $$\tilde F(0,t)=e_1,\ \tilde F(1,t)=e_2$$ para todos $t$ y para algunos $e_1,e_2\in E$ .

Munkres dice que $\tilde F(0,t)=e_0$ . ¿Por qué? Por conmutatividad del diagrama sólo sabemos $p(\tilde F(0,t))=F(0,t)=b_0$ Así que $\tilde F(0,t)\in p^{-1}(b_0)$ .

Answer 1

Munkres explica una razón en su demostración del lema. La imagen inversa de $b_0$ tiene la topología discreta, por lo que cualquier subconjunto de $p^{-1}(b_0)$ con cardinalidad superior a $1$ es la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, es decir, separados. El mapa $\tilde{F}$ es continua, por lo que $0\times I$ está conectado $\tilde{F}(0\times I)$ es conexo, por lo tanto como no vacío debe tener cardinalidad $1$ . El mismo argumento se aplica a $1\times I$ .