$PGL_2(q)$ actúa sobre $\Omega$ $3-$ ¿Transitivamente?

Question

Cualquiera que estudie Grupos de permutación se encontrará con la siguiente definición:

Un grupo $G$ actuar en un plató $\Omega$ se dice que es "Sharply m-Transitive" si $$\forall (a_1,a_2…,a_m) , (b_1,b_2…,b_m) \in \Omega^{m};\ ! g \in G , a_i^g=b_i, 1\leq i\leq m$$

Mientras repasaba mis notas escritas en clase sobre el grupo $PGL_2(q)$ , me he enfrentado a este asunto que $PGL_2(q)$ actuación en plató $\Omega=GF(q)\cup\{\infty\}$ es marcadamente $3-$ transitivo. La idea para juzgarlo es la siguiente:

Desde

$PGL_2(q)=\{f|f:\Omega\longrightarrow\Omega, f(z)=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc\neq 0; a,b,c,d\in GF(q)\}$ por lo que tenemos

$PGL_2(q)_{\infty}=\{f|f:\Omega\longrightarrow\Omega, f(z)= az+b ,a\neq 0; a,b\in GF(q)\}$ ,

$PGL_2(q)_{\infty,0}=\{f|f:\Omega\longrightarrow\Omega, f(z)= az ,a\neq 0; a\in GF(q)\}$ y

$PGL_2(q)_{\infty,0,1}=\{f|f:\Omega\longrightarrow\Omega, f(z)= z\}=\{id\}$ .

Sabiendo que $|PGL_2(q)|=q(q^2-1)$ obtenemos $| PGL_2(q)_{\infty}|=q(q-1)$ y luego

$| PGL_2(q)_{\infty,0}|=q-1$ Ahora bien, puesto que $|PGL_2(q):PGL_2(q)_{\infty}|=q+1=|\Omega|$ entonces $PGL_2(q)$ es

actuando transitivamente sobre $\Omega$ y por tener $|PGL_2(q))_{\infty,0}:PGL_2(q)_{\infty}|=q=|\Omega-\{\infty\}|$

por lo tanto $PGL_2(q)$ está actuando $2-$ transitoriamente en $\Omega$ . Por último, en la clase se llegó a la conclusión de que

desde $|PGL_2(q)_{\infty,0,1}|=1$ ; $|PGL_2(q)|$ actúa 3-transitivamente en $\Omega$ . Debo confesar que no puedo

llegar al último resultado y por encima de la definición es desesperante para mí. Mi pregunta es "¿Por qué el grupo es

marcadamente 3-transitivo en $\Omega$ . Gracias y perdón por mi larga pregunta aquí.

Answer 1

Para demostrar que un grupo actúa bruscamente $3$ -transitivamente, tienes que demostrar que actúa $3$ -transitivamente y que el estabilizador de un (y por tanto de cualquier) triplete de puntos distintos es trivial. Como se sabe que $|PGL_2(q)_{\infty,0,1}|=1$ sólo tiene que demostrar que la acción es $3$ -transitivo. Para ello, basta con demostrar que la acción del estabilizador de dos puntos, es decir. $PGL_2(q)_{\infty,0}$ es transitiva en $\Omega\setminus\{\infty,0\}$ . En efecto, si $x,y\in GF(q)\setminus\{0\}$ entonces toma $a=yx^{-1}$ y tienes $f(z)=az$ tal que $f(x)=y$ .

Answer 2

Sólo para señalar, esto es sólo manipulación algebraica básica. Resuelves algunos sistemas de ecuaciones lineales. La inclusión del infinito requiere un poco de manipulación proyectiva, pero son sólo unos pocos casos extra para comprobar.

Si $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ entonces $f(\infty) = \frac{a}{c}$ , $f(0) = \frac{b}{d}$ y $f(1) = \frac{a+b}{c+d}$ . Por lo tanto, estás resolviendo un sistema de tres ecuaciones lineales en cuatro variables.

Si $x,y,z \neq \infty$ set $a=x$ , $b=\frac{xy-yz}{z-y}$ , $c=1$ y $d=\frac{x-z}{z-y}$ .

Si $x=\infty$ set $c=0$ y resolver el resto. Si $y=\infty$ set $d=0$ y resolver el resto. Si $z=\infty$ set $c=-d$ y resolver el resto.