Es allí una manera de relacionarse convexidad de la curvatura Gaussiana?

Question

Esta es una pregunta vaga, porque no estoy seguro de lo que quiero preguntar.

Un elipsoide tiene curvatura positiva en todas partes, y los límites de un subconjunto convexo de $\mathbb R^3$. Lo que quiero decir ahora es Que "parece como si una superficie con curvatura negativa no puede ser convexo", pero esto no es correcto, porque el elipsoide en sí no es convexa, y sólo pude llegar a lo que yo estaba pensando, observando que los límites de un subconjunto de a $\mathbb R^3$.

Pero esto no es lo que quiero, porque el elipsoide es también el límite de un no-convexo subconjunto de $\mathbb R^3$, es decir, el complemento de la parte convexa de la región. Bueno, convexo de la región es limitada, está bien, así que puede elegir el lado convexo de la región de quiero de esa manera, y decir que si una superficie es el límite de un subconjunto acotado $S$$\mathbb R^3$, y tiene curvatura positiva en todas partes, $S$ es convexa. Pero esto no es tan general como lo que quiero, porque un paraboloide también tiene curvatura positiva en todas partes, y es el límite de un subconjunto convexo de $\mathbb R^3$, pero la afirmación de la frase anterior no se aplica a ella.

Tal vez lo que quiero es algo así como: vamos a $P$ ser un punto en una superficie, y deje $C$ ser una pequeña curva cerrada en la superficie de los límites de una región $R$ de la superficie que contiene $P$. Entonces el subconjunto de $\mathbb R^3$ delimitada por $R$ y por (algo?) es convexa si y sólo si la curvatura de Gauss en $P$ es positivo. O tal vez la condición es que la curvatura en cada punto de $R$ debe ser no negativo. O algo así.

Parece que hay algunos teoremas aquí, pero no sé bien dónde buscar para ellos. Hay teoremas relacionados con la curvatura Gaussiana de una superficie a la convexidad de la región de la que es el límite?

Es al menos cierto que el límite de la superficie de un subconjunto convexo de $\mathbb R^3$ no tiene curvatura negativa en todas partes que su curvatura es bien definida? Lo que estoy buscando es algo así como la antítesis de eso.

Answer 1

Para la última pregunta que se plantea:

Es al menos cierto que el límite de la superficie de un subconjunto convexo de $\mathbb{R}^3$ no tiene curvatura negativa en todas partes que su curvatura es bien definida?

La respuesta es sí. Convexidad implica que por cada punto de $p$ sobre el límite de $\partial \Omega$, podemos encontrar un avión $\Pi$ a través de $p$ tal que $\partial\Omega$ se encuentra "en el lado "uno" de $\Pi$. Esto implica que la segunda forma fundamental es firmado (ya sea positiva semi-definido o negativo-semi-definido). Para las superficies en $\mathbb{R}^3$, la curvatura de Gauss es el determinante de la segunda forma fundamental, y por lo tanto es el producto de los valores propios (el principal curvaturas), y por lo tanto, siempre es positiva definida.

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Ahora, como comentario general, la convexidad está más estrechamente relacionado con la extrínseca de la curvatura de la frontera $\partial\Omega$ más que la inducida por la intrínseco de la curvatura de la misma. Lo que ocurre es que para incrustaciones en Euclidiana espacios (y especialmente en $\mathbb{R}^3$), tenemos fácil relaciones entre intrínsecos y extrínsecos curvaturas; esto conduce a lo que se observa con la curvatura Gaussiana.

De hecho, tenemos el siguiente teorema:

Thm Deje $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ libre de dominio, de tal manera que $\partial\Omega$ es un orientable suave codimension 1 de Riemann submanifold. A continuación, $\Omega$ es convexa si y sólo si existe una opción de orientación en $\partial\Omega$ de manera tal que los asociados de la segunda forma fundamental es positiva semi-definida.

Croquis de la prueba:

(1) Fundamentalmente por la expansión de Taylor vemos que "la segunda forma fundamental es positiva semi-definida en todas partes" es equivalente a "localmente $\partial\Omega$ es apoyado por un hyperplane". (El $\Leftarrow$ dirección es obvio tomando local parametrización de $\partial\Omega$ como un gráfico en el hyperplane. Como es el $\Rightarrow$ dirección en el caso de la segunda forma fundamental es positiva definida. Por la positiva semi-caso concreto, cuando nos encontramos con un autovalor cero, necesitamos utilizar el hecho de que la forma es positiva semi-definida en todo un barrio para descartar el caso de los "malos" de orden superior coeficientes de Taylor.)

(2) una Vez que tenemos el resultado de la primera etapa, podemos recurrir a Tietze teorema que establece la equivalencia entre la convexidad (existencia de locales de apoyo a hyperplanes) y mundial de la convexidad. El enlace para ver un poco más de discusión.

En el caso de $n = 3$, como se mencionó anteriormente el positivo-semi-definición de la segunda forma fundamental está directamente ligada a la no negatividad de la curvatura de Gauss. Para dimensiones superiores, el escalar de curvatura sólo controla el segundo polinomio simétrico de los autovalores de la segunda forma fundamental, por lo que es insuficiente para el control de los locales de la convexidad de la frontera.