Permutaciones regulares

Question

$ \sigma \in S_n $ es una permutación regular si existen ciclos disjuntos $ \tau_1...\tau_r $ de longitud m tal que $ \sigma = \tau_1 \circ ... \circ \tau_r $ y $supp(\tau_1)\cup...\cup supp(\tau_r) = \{1...n\}$

Me han pedido que lo demuestre: $\sigma $ es una permutación regular $\Longleftrightarrow$ $ \exists $ algunos $k$ natural y algún ciclo $\tau \in S_n $ tal que $\sigma = \tau^k$ .

He observado que $ n =rm$ y que la órbita de $\sigma$ es $\{1...n\}$ pero no sé cómo continuar. ¿Puede alguien darme algún consejo? Gracias de antemano.

Answer 1

Intercala las entradas de cada ciclo para crear un gran ciclo que empiece con el primer elemento de cada ciclo, luego (en el mismo orden de ciclos) el segundo elemento de cada ciclo, luego el tercer elemento de cada ciclo, etc.