No soy muy bueno con las matemáticas, así que por favor siéntete libre de corregir cualquier error en mi pregunta (o añadir más ejemplos). Soy un ingeniero de software y recientemente he querido entender mejor las matemáticas detrás de RSA y Diffie Hellman. Cuanto más aprendo, más me meto en la vorágine de wikipedia, y más sigue apareciendo esto.
A la vuelta de cada esquina parece haber un teorema, una fórmula o una técnica en la que $x \equiv 1\ (\text{mod}\ n)$ es de importancia fundamental y no entiendo qué propiedad tiene que la hace tan especial (en comparación con, digamos, $x \equiv 0\ (\text{mod}\ n)$ o algo similar).
Por ejemplo:
- Pequeño teorema de Fermat $a^{p-1} \equiv 1\ (\text{mod}\ p)$
- Teorema de Euler $a^{\phi(n)} \equiv 1\ (\text{mod}\ n)$
- Inverso multiplicativo modular $a\ x \equiv 1 (\text{mod}\ m)$
- Orden multiplicativo (el más pequeño $k$ donde $a^k \equiv 1\ (\text{mod}\ n)$ )
¿Cuál es la naturaleza de esta equivalencia que la hace tan omnipresente entre la aritmética modular y los números primos? ¿Por qué no aparecen más a menudo otras equivalencias como $\equiv 0\ (\text{mod}\ n)$ ?
Tal vez una nueva pregunta en conjunto . . . ¿por qué no es posible tener coprimos relativos donde no hay $k$ donde $a^k \equiv 1\ (\text{mod}\ n)$ ?
¡¡Gracias!!
