un ejemplo sobre el álgebra de Lie

Question

Un ejemplo: $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$

Consideremos el álgebra de Lia $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ , $$H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \ X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \ Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$$ a $$[H,X]=2X,\ [H,Y]=-2Y,\ [X,Y]=H.$$ El espacio vectorial dual $\mathfrak g^*$ tiene la base dual $H^*, X^*, Y^*$ donde, por definición, $\langle H^*,H\rangle=1$ , $\langle X^*,X\rangle=1$ , $\langle Y^*,Y\rangle=1$ y todos los demás soportes de dualidad son $0$ . Consideraremos las siguientes relaciones de conmutación en $\mathfrak g^*$ , $$[H^*,X^*]_{\mathfrak g^*}=\frac14X^*, \ [H^*,Y^*]_{\mathfrak g^*}=\frac14Y^*, \ [X^*,Y^*]_{\mathfrak g^*}=0.$$

Mi pregunta es: ¿cómo obtener la ecuación final?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Esto parece ser $1.1$ aquí en el libro de Basil Grammaticos y K.M. Tamizhmani. Las relaciones de conmutación se eligen de forma que $\mathfrak{g}\bowtie \mathfrak{g}^{*}$ es un álgebra de Lie que tiene $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{g}^*$ como subálgebras. El soporte de Lie $[,]_{\mathfrak{g}^*}$ se recupera en la página $117$ de forma explícita. En general, las estructuras bialgebraicas de Lie sobre $\mathfrak{sl}_2(\Bbb{C})$ están parametrizados por el $3$ -espacio vectorial dimensional $\Lambda^2(\mathfrak{sl}_2(\Bbb{C}))$ .