Transformación lineal a escalares.

Question

Supongamos que W es de dimensión finita, $T \in L(V, W)$ y $w_1, \dots , w_m$ es una base del rango T. Demostrar que existe $\phi_1, \dots \phi_m \in L(V, F)$ tal que $Tv = \phi_1(v)w_1 + \dots + \phi_m(v)w_m$ para cada $v \in V$ . (Donde F es el conjunto de los números reales y complejos).

Lo que probé:

Supongamos que $v_1, \dots v_m$ es una base de V y que $v \in V$ se puede representar por:

$v = a_1v_1 + \dots + a_m v_m$ .

$T(v) = T(a_1v_1 + \dots + a_m v_m) = a_1T(v_1) + \dots + a_mT( v_m) = a_1w_1 + \dots + a_mw_m$

Podemos decir esto debido a la linealidad de T.

Por lo tanto $a_1, \dots , a_m = \phi_1(v), \dots, \phi_m(v)$ .

¿Alguien puede verificar si esto es correcto o si al menos voy por buen camino? Gracias.

Answer 1

Tu intento puede convertirse en una prueba, pero necesita algunas aclaraciones:

1. $V$ no se dice que tenga la misma dimensión ( $m$ ) como $W$ ni siquiera se supone que sea de dimensión finita.
2. Usted parece haber asumido implícitamente que $T(v_i)=w_i$ .

Ahora, $(w_1,\dots,w_m)$ es una base del gama de $T$ como está escrito, así que podemos encontrar un preimagen de cada $w_i$ en $V$ , digamos $v_i$ (para que $T(v_i)=w_i$ ).

Utilice la linealidad para demostrar que estos $v_i$ deben ser independientes, entonces fije una base en $\ \ker T\,$ que, junto con el $v_i$ dan una base de todo el espacio $V$ .

A continuación, las funciones necesarias $\phi_i$ son de hecho los $i$ con respecto a esta base.