Demostrar que ${}^ni$ es complejo para todos $n \ge 3$

Question

Podemos definir ${}^nx$ como $\underbrace{\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}}}_{n\text{ times}}$ ( Tetration ). Conjeturo que ${}^ni$ es complejo para todos $n \ge 3, n \in \mathbb{N}$ .

He intentado demostrarlo mediante inducción y la forma exponencial de un número complejo ( $i = e^{i\pi/2}$ ), y creo que lo he conseguido. Sin embargo, mi prueba es bastante inestable, y me pregunto acerca de una prueba más rigurosa? Entonces, ¿cómo demostraría

${}^ni \in \mathbb{C}, \forall n \ge 3, n \in \mathbb{N}$

---

No voy a incluir mi prueba completa porque es bastante larga, pero un resumen rápido es algo así:

Utilizaremos la prueba por inducción, empezando por $n = 3$

Sea $n = 3$ . Por lo tanto

$$ \begin{align} {}^3i & = i^{i^i} \\ & = i^{e^{-\pi/2}} \\ & = (e^{i\pi/2})^{e^{-\pi/2}} \\ & = e^{(i\pi e^{-\pi/2})/2} \\ & = \cos(\frac{\pi}{2} e^{-\pi/2}) + i\sin(\frac{\pi}{2} e^{-\pi/2}) \\ & \in \mathbb{C} \end{align} $$

Ahora, supongamos que la afirmación es cierta para $n = k$ es decir

$$ {}^ki = \cos\theta + i\sin\theta, \: \theta \ne m\pi $$

Sea $n = k+1$ . Por lo tanto

$$ \begin{align} {}^ni & = {}^{k+1}i \\ & = i^{({}^ki)} \\ & = i^{\cos\theta + i\sin\theta} \\ & = i^{\cos\theta}i^{i\sin\theta} \\ & = (e^{i\pi/2})^{\cos\theta}(i^i)^{\sin\theta} \\ & = (e^{(i\pi\cos\theta)/2})(e^{-\pi/2})^{\sin\theta} \\ & = r\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)\right) \\ & \in \mathbb{C} \end{align} $$

donde $r = e^{-\pi/2}$ . Ahora, pensé que la única manera de que esto no sea complejo es si $\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right) \ne 0$ así que realicé la prueba por inducción una segunda vez sobre $\theta$ lo que demuestra que $\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right) \ne 0$ para el $\theta$ .

Además, lo he comprobado utilizando este Programa Jelly hasta $n = 1000$

---

Como nota al margen, ¿se trata de un hecho "conocido" o de una prueba?

Answer 1

Al menos, las iteraciones con $n$ paseo creciente hasta un punto fijo complejo que está tan alejado del eje real que sólo durante un número finito de iteraciones la órbita cruza el eje real (y posiblemente tenga un valor "sólo real") y después de eso todas las iteraciones giran en espiral alrededor del punto fijo $t^+$ (con parte imaginaria positiva) hacia ese punto fijo.

Sea $z=1$ y $z_n$ o $\;^nz$ sea el $n$ tetración de la unidad compleja $I$ . Tenemos entonces:

 n   z_n                                 imaginary part
--------------------------------------------------------
 0   1                               --> 0
 1                  1*I              --> 1
 2 0.207879576351 + 0*I              --> 0.0
 3 0.947158998072 + 0.320764449979*I --> 0.320764449979
 4 0.050092236109 + 0.602116527036*I --> 0.602116527036
 5 0.387166181086 + 0.030527081605*I --> 0.0305270816055
 6 0.782275682434 + 0.544606557658*I --> 0.544606557658
 7 0.142561823164 + 0.400466525337*I --> 0.400466525337
 8 0.519786396408 + 0.118384196416*I --> 0.118384196416
 9 0.568588617272 + 0.605078406798*I --> 0.605078406798
10 0.242365246825 + 0.301150592071*I --> 0.301150592071
11 0.578488683377 + 0.231529735307*I --> 0.231529735307
12 0.427340132692 + 0.548231217344*I --> 0.548231217344
13 0.330967104358 + 0.262891842795*I --> 0.262891842795
14 0.574271015390 + 0.328715623630*I --> 0.328715623630
15 0.369948042157 + 0.468173193372*I --> 0.468173193372
16 0.400633494867 + 0.263120213351*I --> 0.263120213351
...   ...                                  ...
-------------------------------------------------------
 approximating the fixpoint t^+
   0.438282936727 + 0.360592471871*I    

Se pueden definir los iterados $ \;^nz$ como valores logarítmicos polares de $\xi_n= \; ^nz - t^+$ de forma que escribamos $\xi_n= \{ \lambda_n, \varphi_n \} $ .

Se sabe que la distancia al punto fijo disminuye continuamente ( $ \lambda_n$ es el logaritmo de la distancia a $n$ ) interpolable por los iterados fraccionarios de Schroeder hasta un suave flujo casi espiral que converge alejándose del eje real.

Al final, el cuadro utiliza el mecanismo de Schroeder para la interpolación a iterados fraccionarios, dando una curva suave. Los intervalos unitarios de una iteración están marcados con colores diferentes.
Es probado que esta curva coincide con los iterados naturales $\{0,1,z,\;^2z,...\}$ y además que es suave, por lo que esto demuestra la imposibilidad de $\;^n i$ ser real para $n>3$ .