No entendí por qué $(1-\alpha) 0 $ en la parte de $x=\alpha\left(\alpha^{-1} x\right)+(1-\alpha) 0 \in C,$ sobre la demostración del Lema 1.2 del libro de Brezis de Análisis Funcional. El Lemma 1.2 dice:
Sea $C \subset E$ sea un conjunto abierto convexo con $0 \in C.$ Por cada $x \in E$ w $p(x)=\inf \left\{\alpha>0 ; \alpha^{-1} x \in C\right\}\tag{8}$ ( $p$ se denomina calibre de $C$ o la funcional de Minkowski de $C$ ).
Entonces $p$ satisface $(1),(2),$ y las siguientes propiedades:
$\text{there is a constant $ M $ such that $ 0 \leq p(x) \leq M\|x\| \quad \forall x \in E $}\tag{9},$ $$C=\{x \in E ; p(x)<1\}\tag{10}.$$
Dónde $(1)$ y $(2)$ son las hipotesis del teorema de Hahn-Banach, $(1)$ est $p(\lambda x) = p(x)$ y $(2)$ est $p(x + y) \leq p(x) + p(y).$
La prueba de $(10)$ es:
En primer lugar, supongamos que $x \in C ;$ desde $C$ es abierto, se deduce que $(1+\varepsilon) x \in C$ para $\varepsilon>0$ suficientemente pequeño y, por tanto $p(x) \leq \frac{1}{1+\varepsilon}<1 .$ Por el contrario, si $p(x)<1$ existe $\alpha \in(0,1)$ tal que $\alpha^{-1} x \in C,$ y así $x=\alpha\left(\alpha^{-1} x\right)+(1-\alpha) 0 \in C.$
Por qué esta parte $(1-\alpha) 0$ ¿es necesario?
