Problema relacionado con el Lemma de Fatou (Teoría de la medida)

Question

Planteamiento del problema : Demuestre que si $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de funciones medibles no negativas sobre $\mathbb{R}^d$ para cualquier $t>0$ que tenemos: $$m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace \liminf_{n\to\infty}f_n(x)>t\right\} \right) \leq \liminf_{n\to\infty}m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace f_n(x)>t\right\} \right).$$

Intento/Discusión Cuando vi por primera vez el enunciado pensé inmediatamente en el Lemma de Fatou, que en este caso nos diría que (directamente a continuación del enunciado del Lemma): $$\int_{\mathbb{R}^d}\liminf_{n\to\infty} f_n dm\leq \liminf_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}f_n dm.$$ Tenemos entonces las relaciones (que pueden demostrarse a partir del Teorema de Fubini): $$ \int_{\mathbb{R}^d}\liminf_{n\to\infty} f_n dm=\int_0^\infty m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace \liminf_{n\to\infty}f_n(x)>t\right\} \right)dt$$ y $$\int_{\mathbb{R}^d}f_n dm=\int_0^\infty m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace f_n(x)>t\right\} \right)dt $$ Esto implica $$\int_0^\infty m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace \liminf_{n\to\infty}f_n(x)>t\right\} \right)dt \leq \liminf_{n\to\infty}\int_0^\infty m\left(\left\{x\in \mathbb{R}^d:\enspace f_n(x)>t\right\} \right)dt.$$

Aunque esta afirmación se parece, no es el resultado de la afirmación. Parece que el enunciado del problema implica el lema de Fatou, pero no necesariamente al revés (aún no estoy seguro). Si alguien tiene alguna idea, se lo agradeceré.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\liminf f_n(x) > t$ sólo si $f_n(x) > t$ para todos los índices excepto para un número finito de ellos $n$ . Así $$\left\{x : \liminf f_n(x) > t \right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n} \{x : f_k(x) > t\}.$$ Utiliza la continuidad desde abajo: $$m \left( \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n} \{x : f_k(x) > t\} \right) = \lim_{n \to \infty} m \left( \bigcap _{k \ge n} \{x : f_k(x) > t\} \right).$$ Desde $$\bigcap_{k \ge n} \{f_k(x) > t\} \subset \{f_n(x) > t\}$$ se obtiene $$ \lim_{n \to \infty} m \left( \bigcap _{k \ge n} \{x : f_k(x) > t\} \right) = \liminf_{n \to \infty} m \left( \bigcap _{k \ge n} \{x : f_k(x) > t\} \right) \le \liminf_{n \to \infty} m(\{x : f_n(x) > t\}).$$