¿Es el codominio de una transformación de Hilbert de una función el mismo que la función misma?

Question

Sea $f:\mathcal{D}\to\mathcal{D}$ una función cuyo dominio y codominio son $\mathcal{D}$. Sea $\hat{f}$ su transformada de Hilbert, la cual está definida como

$$\hat{f}(t)=\mathcal{H}(f(t))=\frac{1}{\pi} \mathop{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(\tau)}{t-\tau}\ d\tau.$$

Ahora puedo ver que el dominio de $\hat{f}(t)$ es $\mathcal{D}$. ¿Cuál es su codominio? ¿Es también $\mathcal{D}$ o puede ser diferente?

NOTA: Cuando digo $\mathcal{D}$, me refiero a $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$

Answer 1

En realidad no hay razón para pensar que la integral converge (incluso en el sentido de valor principal) para todos los $t \in \cal D$, por lo que el dominio de $\hat{f}$ no necesariamente es $\cal D$. Por otro lado, si ${\cal D} = \mathbb R$ no veo razón para no permitir $t \in \mathbb C$. Lo que es cierto es que si $f$ es de valores reales y $t \in \mathbb R$ y la integral de valor principal converge, entonces será real.