Ejemplos de funciones que no pertenecen a ninguna clase Baire

Question

Hace poco leí esta entrada que da ejemplos de funciones Baire de clase 2. También he estado leyendo el artículo de Wikipedia sobre Funciones de Baire . El artículo afirma que "Henri Lebesgue demostró que ... existen funciones que no están en ninguna clase Baire". Me gustaría ver un ejemplo de tal función.

Me cuesta encontrar algo que responda directamente a mi pregunta concreta. Lo que sé hasta ahora es la definición: tal función no es el límite puntual de ninguna secuencia de clase Baire $\alpha$ para cualquier número ordinal contable $\alpha$ . También he encontrado este que demuestra que una función de este tipo no es medible por Lebesgue.

También me gustaría ver algunos detalles de la prueba de Lebesgue de que tales funciones existen. Para ser más específico, me gustaría saber si es constructiva o es sólo un resultado de existencia.

Answer 1

Creo que la prueba de Lebesgue no era constructiva, y era la siguiente. Hay como máximo un número continuo de ordinales contables, y sólo un número continuo de funciones en cada clase de Baire (ejercicio: ¿cuántos subconjuntos contables tiene un conjunto de tamaño continuo? Pero el número de funciones es dos. (Nótese la similitud con la prueba de que existe un conjunto no-Borel de reales, ¡incluso uno mensurable!).

Mientras tanto, no creo que pueda existir realmente una prueba constructiva, ya que es consistente con ZF que toda función sea Baire. Este es el caso en modelos donde los reales son una unión contable de conjuntos contables.

Dicho esto, he aquí una especie de ejemplo: biyecte las funciones Baire con los reales y diagonalice. Es decir $f $ sea una sujeción de los reales a las funciones de Baire, y sea $g (r)=f (r)(r)+1. $