Definición de e

Question

Posibles Duplicados:
¿Por qué es $1^{\infty}$ considera que es una forma indeterminada
Es $dy/dx$ no una relación?

Estoy muy deseoso de conocer y comprender la definición de $e$. Los libros de texto definen $e$ como sigue

$$ e = \lim_{p\to\infty} \left[1+\frac1{p}\right]^p \approx 2.71828 $$

Es allí una "fácil de entender" prueba de ello? Realmente estoy buscando una derivación de este que es muy intuitivo y fácil de comprender.

Por cierto estoy viendo este video conferencia.

Answer 1

¿Cuál es su definición de $e$? Ese es el principal problema. Uno no puede probar que una definición, a pesar de que uno puede probar diferentes maneras de definir algo el rendimiento de la misma cosa.

Hay varios "caminos a $e$". Un camino es a través de derivados:

Lo que continua, derivable la función $f(x)$ satisface $f'(x) = f(x)$ todos los $x$, e $f(0)=1$?

Este es el problema que Euler considera. Si usted piensa que las funciones están dadas por la serie de Taylor, a continuación, a partir de $$f(x) = 1 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n + \cdots$$ y tomando derivados formalmente, $$f'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots + na_nx^{n-1}+\cdots$$ a continuación, la identificación de los coeficientes de obtener $$a_1 = 1,\quad a_2 = \frac{a_1}{2},\quad a_3 = \frac{a_2}{3}=\frac{a_1}{3!},\ldots$$ para que la función en cuestión es $$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$ y $e$ pasa a ser el valor de esta función en $1$. De hecho, ya que la función ha $f'(x)/f(x)$ constante, es una función exponencial, por lo $f(x) = e^x$.

Hay algo intuitivo acerca de esto? Tal vez; si se compara el crecimiento de, digamos, $2^x$$3^x$, usted verá que $2^x$ crece un poco más lento que su valor ($f'(x)\lt f(x)$), mientras que $3^x$ crece un poco más rápido,$(f'(x)\gt f(x))$. Somwhere en el medio, se espera encontrar una función que crece exactamente la misma que la de su valor, y que "en algún lugar" es, precisamente, a $e$.

Esta es una especie de "continuo" de la definición de $e$: se llega a $e$ por pensar en un proceso continuo (funciones y diferenciación).

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Hay un enfoque diferente, uno que es un poco más "discreto."

Imagina poner dinero en un banco a interés. Cuánto dinero tiene en el final del año depende de la frecuencia de recibir el pago de su interés, ya que los intereses pagados generará interés. (Aparte: es por eso que en los Certificados de Depósito y declaraciones de Tarjeta de Crédito, hay una diferencia entre la "Tasa de Interés" y la "APR" o tasa de porcentaje anual; uno es el interés nominal de recibir el pago, el otro es cuánto usted realmente conseguir debido a la capitalización).

Imaginemos que poner \$100 at 100% annual interest. If you get paid interest at the end of the year, then you simply get \$100 de interés al final del año, por lo que su total es de $$ 100+ 100(1)= 100(1+1) = 200\text{ dollars.}$$

Ahora dicen que le pagan intereses cada seis meses en lugar. Después de seis meses, te has ganado la mitad de los intereses que tenían derecho a, \$50. So now you have \$150 en el banco de seis meses, que se gana la mitad del 100%, se obtendría para un año entero, o \$75. Así que al final del año se tiene: $De$100 + 100\left(\frac{1}{2}\right) + \left(100 + 100\left(\frac{1}{2}\right)\right)\frac{1}{2} = 100\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 225\text{ dólares.}$$ Si le pagan cada cuatro meses, luego de llegar a $\frac{1}{3}$ de interés, tres veces, así que al final del año (si haces los cálculos y simplificar el uso de la fórmula para un geométrica de la suma): $$100\left( 1+ \frac{1}{3}\right)^3 \approx 237.04\text{ dollars.}$$ Si le pagan cada mes, al final del año, usted tendrá $$100\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 261.30\text{ dollars.}$$ Si le pagan cada día, al final del año, usted tendrá $$100\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 271.46\text{ dollars.}$$ Si le pagan cada hora, al finalizar el año, usted tendrá $$100\left(1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} \approx 271.81\text{ dollars.}$$

Y así sucesivamente. Si le pagan cada minuto obtendrás más; cada segundo, incluso más. Cada nanosegundo, incluso más. Y así sucesivamente. La pregunta es:

Supongamos que seguir haciendo los intervalos en los cuales se le paga más pequeños y más pequeños y más pequeños. En "el límite", cuando se pagan intereses cada instante, ¿va a ser infinitamente rico?

No. Resulta que la secuencia $$100\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$ es estrictamente creciente, pero delimitada por encima (por ejemplo, \$300). Que significa que la secuencia converge: enfoques en definitiva un número específico. ¿Cuál es ese número?

Es $100e$. Se puede probar que el límite que se obtiene haciendo $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$ es exactamente la misma que la base de la función que hemos definido anteriormente pidiendo una función derivable que es igual a su derivada y tiene valor $1$$0$. Así que esta es otra manera de definir el $e$.

Usted puede tomar ya sea una como base para la definición de las $e$, y demostrar que la construcción le da lo mismo. De que usted escoja uno, que usted demostrar que el otro. Que uno es más "intuitivo"? Así, de un modo que ni uno es intuitivo: sólo pasa a ser la respuesta a una pregunta específica; tal vez una mejor manera la frase de su pregunta es: "¿Qué es una pregunta razonable, nos podemos preguntar donde la respuesta es $e$?", y ahora usted tiene dos de esas preguntas.

Answer 2

$\pi$ es el nombre de la constante relación del diámetro y circumferance de un círculo. Es una definición, una constante que nos pareció que merecía un nombre. $e$ pasa a ser el nombre de una constante a partir de un determinado límite. Como $\pi$, hemos llamado porque pensamos que sería útil.

En la Física, muchos, muchas de las constantes que tienen nombres. Gravitacional constantes, expansional constantes, eléctricos constantes, etc. Cada uno es útil, pero un poco arbitrariamente elegido.

Pero sospecho que no como el que aparentemente la naturaleza de este. Así que he venido para arriba con algo relacionado con: llamamos a 2 el número s.t. 1 + 1 = 2. Por qué? ¿Cuál es su derivación? No hay ninguna derivación - hemos definido, le dio un símbolo y un nombre.

Answer 3

Es muy fácil demostrar que $\dfrac{d}{dx} 2^x = (2^x\cdot\text{some constant})$,$\dfrac{d}{dx} 4^x = (4^x\cdot\text{some other constant})$.

En http://wnk.hamline.edu/~mjhardy/1170/tarea/6.pdf [editar más tarde: he Aquí otra (en realidad más) versión, el enlace al que todavía está trabajando: http://www.math.umn.edu/~hardy/1271/folletos/septiembre.28.pdf] podrás ver en el problema #2 que es muy fácil ver que con 2, la "constante" es menor que 1, y 4, la constante es mayor que 1.

En este punto, estarás sospechando que por algún número en algún lugar entre el 2 y el 4, la "constante" será 1.

Ese número es $e$.

Esa es una manera de empezar a entender lo $e$ es de alrededor de.

Ahora recuerdo que la derivada de $f$ se aproxima por $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ al $h$ es pequeña. Pensar en lo que sucede cuando $h = 1/n$, y que puede arrojar algo de luz sobre $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.