Duda sobre la ecuación diferencial que implica la función de error complementaria

Question

Cómo encontrar la solución general de $y''+2xy'-2ny=0$ ?

Estaba resolviendo un problema en este hilo . La solución publicada implica la función de error que no conozco. He encontrado lo siguiente enlace .

Cómo encontrar la solución de $y''+2xy'-2ny=0$ ? La solución de esta ecuación diferencial viene dada en el enlace como $$y=A\,\text{erfc}_n(x)+B\,\text{erfc}_n(-x)\,.$$ Ni siquiera yo conozco esta notación. Le ruego me lo explique. Si no, por favor, sugiera algunas fuentes en línea. Mi libro de texto no contiene este tema.

Answer 1

Puedo darte una solución polinómica. Para cada entero $n\geq 0$ , dejemos que $p_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ denotan la función polinómica $$p_n(x)=\sum_{r=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\,\frac{1}{2^{2r}\,r!\,(n-2r)!}\,x^{n-2r}\text{ for all }x\in\mathbb{R}\,.$$ Entonces, $y:=p_n$ es una solución de la ecuación diferencial $$y''(x)+2x\,y'(x)-2n\,y(x)=0$$ para cada número entero $n\geq 0$ . Puede obtener la solución general mediante Método de reducción de orden pero no estoy seguro de lo complicada que será esta vía de intento. Sin embargo, al menos puede demostrar que todas las soluciones $y$ parecer $$y(x)=A\,p_n(x)+B\,p_n(x)\,\int_x^\infty\,\frac{\exp(-t^2)}{\big(p_n(t)\big)^2}\,\text{d}t$$ para algunas constantes $A$ y $B$ .

Para $n=0$ con $p_0(x)=1$ obtenemos la solución general $$y(x)=A+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,B\,\text{erfc}(x)=a\,\text{erfc}_0(+x)+b\,\text{erfc}_0(-x)\,,$$ donde $a:=\dfrac{A}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,B$ y $b:=\dfrac{A}{2}$ como $\text{erfc}_0=\text{erfc}$ y $\text{erfc}(+x)+\text{erfc}(-x)=2$ . En general, observamos que $$(-1)^n\,\text{erfc}_n(+x)+\text{erfc}_n(-x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\frac{(x-t)^n}{n!}\,\exp\left(-t^2\right)\,\text{d}t=2\,p_n(x)\,.$$ Por lo tanto, queda por demostrar que la función $q_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $$q_n(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\left(\frac{p_n(x)}{2^n\,n!}\right)\,\int_x^\infty\,\frac{\exp(-t^2)}{\big(p_n(t)\big)^2}\,\text{d}t\text{ for all }x\in\mathbb{R}$$ es una combinación lineal de $\text{erfc}_n(+x)$ y $\text{erfc}_n(-x)$ señalando que $$\text{erfc}_n(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_z^\infty\,\frac{(t-z)^n}{n!}\,\exp(-t^2)\,\text{d}t\,.$$ Quizá le ayude saber que $p_n'(x)=p_{n-1}(x)$ y $\text{erfc}'_n(x)=-\text{erfc}_{n-1}(x)$ para cada $n=1,2,3,\ldots$ . Hasta donde yo sé, $$q_0(x)=\text{erfc}(x)=\text{erfc}_0(x)\,,\,\,q_1(x)=\text{erfc}_1(x)\,,\text{ and }q_2(x)=\text{erfc}_2(x)\,.$$ Conjeturo que $$q_n(x)=\text{erfc}_n(x)\text{ for all }n=0,1,2,3,\ldots\,.$$ Será de gran ayuda si puedo demostrar que $$p_n(x)\,\text{erfc}_{n-1}(x)+p_{n-1}(x)\,\text{erfc}_{n}(x)=\frac{1}{2^n\,n!}\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\exp\left(-x^2\right)\right)\,,\tag{*}$$ o equivalentemente, $$\text{erfc}_n(-x)\,\text{erfc}_{n-1}(+x)+\text{erfc}_n(+x)\,\text{erfc}_{n-1}(-x)=\frac{2}{2^n\,n!}\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\exp\left(-x^2\right)\right)\,.\tag{#}$$

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Por otra parte, es bastante fácil demostrar que $y(x):=\text{erfc}_n(x)$ satisface la ecuación diferencial homogénea $y''(x)+2x\,y'(x)-2n\,y(x)=0$ . Para $n<2$ Esto puede comprobarse fácilmente a mano. Para $n\geq 2$ primero observamos que, aplicando la integración por partes, tenemos $$\text{erfc}_{n-2}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_x^\infty\,\frac{2t(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}\,\exp(-t^2)\,\text{d}t\,.$$ Eso es, $$\text{erfc}_n''(x)=\text{erfc}_{n-2}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_x^\infty\,\frac{\big(2x+2(t-x)\big)(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}\,\exp(-t^2)\,\text{d}t\,.$$ Expandiendo la integral anterior se obtiene $$\text{erfc}_n''(x)=\small 2x\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_x^\infty\,\frac{(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}\,\exp(-t^2)\,\text{d}t\right)+2n\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_x^\infty\,\frac{(t-x)^{n}}{n!}\,\exp(-t^2)\,\text{d}t\right)\,.$$ Eso es, $$\text{erfc}_n''(x)=2x\,\text{erfc}_{n-1}(x)+2n\,\text{erfc}_n(x)\,.$$ Porque $\text{erfc}_n'(x)=-\text{erfc}_{n-1}(x)$ deducimos que $$\text{erfc}_n''(x)+2x\,\text{erfc}'_n(x)-2n\,\text{erfc}(x)=0\,,$$ estableciendo nuestra reclamación.

Ahora, debemos tener $$\text{erfc}_n(x)=\lambda_n\,p_n(x)+\mu_n\,q_n(x)$$ para algunas constantes $\lambda_n,\mu_n$ . Para $n=0$ es evidente que $\lambda_0=0$ y $\mu_0=1$ . Para $n>0$ observamos que $\text{erfc}_n(x)$ y $q_n(x)$ tienden a $0$ como $x\to\infty$ mientras que $p_n(x)\to\infty$ cuando $x\to\infty$ . Es decir $\lambda_n=0$ . Se puede comprobar fácilmente que, para un número entero par $n>0$ , $$\left.\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right|_{x=0}\,\left(\frac{\text{erfc}_{n}(x)}{p_n(x)}\right)=\frac{2^n}{\binom{n}{\frac{n}{2}}}\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right|_{x=0}\,\left(\frac{q_{n}(x)}{p_n(x)}\right)\,,$$ de donde $\mu_n=1$ . Para un número entero impar $n>0$ observamos que $$\lim_{x\to 0}\,\Biggl(x\,\left(\frac{\text{erfc}_{n}(x)}{p_n(x)}\right)\Biggr)=\frac{2^{n-1}}{n\,\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}}\,\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)=\lim_{x\to 0}\,\Biggl(x\,\left(\frac{q_{n}(x)}{p_n(x)}\right)\Biggr)\,,$$ así que $\mu_n=1$ también. Esto demuestra que $q_n(x)=\text{erfc}_n(x)$ para todos $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ . En consecuencia, tanto (*) como (#) se cumplen.