Edita: Corregida mi pregunta.
Si tenemos una función racional en el caso general: $$f(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n}$$ Y denotamos su integral como: $$I_n=\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n}$$ Para $n=1$ tenemos la integral en las listas: $$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$ Para $n>1$ mi profesor utilizaba la integración por partes: $$u=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} \to du=-n\frac{2x}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx$$ $$dv=dx \to v=x$$ Entonces, tenemos: $$I_n=uv-\int vdu=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+\int \frac{2nx^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=$$ $$=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int \frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=$$ $$\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n}-2na^2 \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=$$ $$\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}$$ Y obtuvo una fórmula recursiva: $$I_{n+1}=\frac{2n-1}{2na^2}I_n+\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^n}$$ donde $n=1,2,3,...$
El procedimiento me parece completamente correcto, no he podido encontrar un error en ninguna parte, pero, esa fórmula recursiva no da el resultado correcto de la integral de función en esa forma.
Por ejemplo, supongamos que queremos integrar la función $$f(x)=\frac{1}{(x^2+4x+5)^2}$$ El resultado correcto sería (utilizando WA): $$\frac{1}{2}\bigg(\frac{x+2}{x^2+4x+5}+\arctan(x+2)\bigg)+C$$ Pero si utilizamos la fórmula recursiva para $n=1$ obtenemos: $$I_2=\frac{3}{4}I_1+\frac{1}{4}\cdot\frac{x+2}{(x^2+4x+5)^2}$$ Y como $I_1=\arctan(x+2)+C$ obtenemos: $$I_2=\frac{3}{4}\arctan(x+2)+\frac{1}{4}\cdot\frac{x+2}{(x^2+4x+5)^2}+C$$ Lo cual no es correcto según WA.
Gracias por su tiempo.
