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¿Qué es lo que hace tan buenos a los polinomios homogéneos?

Debería ser obvio por la pregunta que no soy ningún tipo de geómetra algebraico, así que si hay definiciones de hom-polis como functores diádicos comonoidales o lo que sea, dejemos eso a un lado para los propósitos de esta pregunta. Me refiero a homopolis en el sentido más pedestre posible.

Desde fuera, parece que los polinomios homogéneos reciben mucha atención en alg-geom. (¿Quizá también en otras áreas?) Sé que son homogéneos con respecto a las dilataciones, y que esto permite ver sus ceros en el espacio proyectivo de forma natural.

Normalmente me gusta mantener una distancia segura entre el espacio proyectivo y yo, y siempre he considerado las homopolis como una "mera" herramienta técnica. Pero, justo el otro día, pude resolver rápidamente un pequeño problema elemental de teoría de números convirtiéndolo en forma "homogénea". (Algunos vagos recuerdos de la heurística de resolución de problemas homogéneos me impulsaron a ello). Para ser precisos, el problema consistía en calcular cuántas soluciones hay para m^2 + n^2 = 1 en Z_p, donde p es un primo congruente a 3 mod 4. (Por supuesto, esto es trivial por un cambio de variables cuando p = 1 mod 4.) El problema parecía poco amigable al principio, pero pasar a la cuestión relacionada de las soluciones a m^2 + n^2 - t^2 = 0 reveló mucha simetría y lo hizo bastante trivial. (Por supuesto, resolver pequeños casos del primer problema mostraba mucha simetría, pero no era obvio cómo hacerse con ella).

Mi pregunta es: ¿ayudan los homopolys a resolver muchos problemas aparentemente inconexos mediante algún proceso de homogeneización del problema? ¿Tiene ejemplos? ¿Es ésta una de las razones de su popularidad? Estoy buscando principalmente heurísticas, pero si crees que un teorema real precisa o ayuda a formular una heurística, adelante.

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Margaret Friedland Puntos 2105

Como ya has notado, pensando en términos de coordenadas homogéneas en un espacio proyectivo complejo $\mathbb{P}^n$ para definir una función (cualquier función antigua de valor complejo, no necesariamente holomórfica o incluso continua) en $\mathbb{P}^n$ debemos exigir que $f$ es homogénea de orden cero, es decir, $f(\lambda x)=f(x)$ para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}\setminus 0$ y cualquier $x \in \mathbb{P}^n$ . (Pero para definir un conjunto cero de una función sobre $\mathbb{P}^n$ tenemos un poco más de margen: exigimos que la ``función'' sea homogénea de orden $k \geq 0$ es decir, $f(\lambda x)=\lambda^kf(x)$ para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}\setminus 0$ y cualquier $x \in \mathbb{P}^n$ Será suficiente. Una afirmación más profunda (=teorema de Chow) es cierta (algo así como la inversa de lo anterior): todo conjunto analítico en $\mathbb{P}^n$ es el conjunto cero (común) de un número finito de polinomios homogéneos.

Aside 1: Este punto de vista se generaliza a las variedades tóricas, ya que admiten un análogo de las coordenadas homogéneas (introducidas por primera vez en el caso liso en MR1106194 Audin, Michèle: The topology of torus actions on symplectic manifolds. Traducido del francés por la autora. Progress in Mathematics, 93. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1991. 181 pp. ISBN: 3-7643-2602-6, luego desarrollado para el caso general en MR1299003 Cox, David A.: El anillo de coordenadas homogéneo de una variedad tórica. J. Algebraic Geom. 4 (1995), no. 1, 17-50)

Aside 2: la interpretación de las secciones de un haz de líneas sobre una múltiple compleja como funciones homogéneas no tiene nada que ver con la proyectividad y/o el teorema de Serre (como analista, me ceñiré al lenguaje de las múltiples complejas y los haces de líneas en lugar de al de los esquemas y las láminas). Es más general y se deduce de la relación entre las $k$ -ésima potencia tensorial del haz de líneas $\pi: L \to X$ sobre un $n$ -compleja dimensional $X$ y el haz dual $\pi': L' \to X$ . A saber (como puede comprobarse utilizando las definiciones respectivas, teniendo en cuenta las relaciones entre trivializaciones), toda función holomorfa $f$ en $L'$ que es homogénea de grado $k$ en las fibras es una sección en $L^k$ (no sólo un "suplente"). En el caso concreto de $X=\mathbb{P}^n$ y $L=\mathcal{O}(1)$ el espacio de las secciones $\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(k))$ es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado $k$ en las variables $z_0,...,z_n$ .

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