¿Qué es lo que hace tan buenos a los polinomios homogéneos?

Question

Debería ser obvio por la pregunta que no soy ningún tipo de geómetra algebraico, así que si hay definiciones de hom-polis como functores diádicos comonoidales o lo que sea, dejemos eso a un lado para los propósitos de esta pregunta. Me refiero a homopolis en el sentido más pedestre posible.

Desde fuera, parece que los polinomios homogéneos reciben mucha atención en alg-geom. (¿Quizá también en otras áreas?) Sé que son homogéneos con respecto a las dilataciones, y que esto permite ver sus ceros en el espacio proyectivo de forma natural.

Normalmente me gusta mantener una distancia segura entre el espacio proyectivo y yo, y siempre he considerado las homopolis como una "mera" herramienta técnica. Pero, justo el otro día, pude resolver rápidamente un pequeño problema elemental de teoría de números convirtiéndolo en forma "homogénea". (Algunos vagos recuerdos de la heurística de resolución de problemas homogéneos me impulsaron a ello). Para ser precisos, el problema consistía en calcular cuántas soluciones hay para m^2 + n^2 = 1 en Z_p, donde p es un primo congruente a 3 mod 4. (Por supuesto, esto es trivial por un cambio de variables cuando p = 1 mod 4.) El problema parecía poco amigable al principio, pero pasar a la cuestión relacionada de las soluciones a m^2 + n^2 - t^2 = 0 reveló mucha simetría y lo hizo bastante trivial. (Por supuesto, resolver pequeños casos del primer problema mostraba mucha simetría, pero no era obvio cómo hacerse con ella).

Mi pregunta es: ¿ayudan los homopolys a resolver muchos problemas aparentemente inconexos mediante algún proceso de homogeneización del problema? ¿Tiene ejemplos? ¿Es ésta una de las razones de su popularidad? Estoy buscando principalmente heurísticas, pero si crees que un teorema real precisa o ayuda a formular una heurística, adelante.

Answer 1

Yo reformularía la pregunta como "¿qué tiene de bueno el espacio proyectivo (en comparación con el espacio afín)?". Yo daría dos respuestas:

1. El espacio proyectivo tiene un grupo de simetría mayor: dimensión $n^2+2n$ en lugar de $n^2+n$ .
2. El espacio proyectivo es compacto.

La primera es la que se utiliza cuando se gira $x^2+y^2=1$ en $x^2+y^2=z^2$ y luego $(z+y)(z-y)=1$ el cambio de coordenadas correspondiente es una simetría del espacio proyectivo que no pasa al espacio afín. La segunda es la razón por la que los polinomios homogéneos funcionan mejor para la teoría de intersecciones: las intersecciones no pueden irse al infinito. También es la razón por la que el recuento de puntos sobre campos finitos da mejores respuestas en el espacio proyectivo: el recuento de puntos está relacionado con la cohomología, y la cohomología para espacios compactos lisos obedece a la dualidad de Poincare.

Answer 2

Desde un punto de vista práctico, poner un grado a un álgebra suele organizar el álgebra en una colección de espacios vectoriales de dimensión finita, cada uno de ellos indexado por un número natural. Esto abre la puerta a argumentos de inducción que, en cada paso, sólo tienen que tratar con un espacio vectorial de dimensión finita. Esta cruda idea parece motivar la mayoría de las técnicas computacionales en la teoría de las álgebras conmutativas (véase todo lo relacionado con las bases de Grüner).

En términos más generales, las álgebras graduales/espacios proyectivos permiten utilizar técnicas de tipo finito-dimensional en el estudio de álgebras y módulos de dimensión infinita. Por ejemplo, si $A$ es un anillo polinómico, y $M$ es una f.g. graduada $A$ entonces el doble dual $$ Hom_\mathbb{C}(Hom_{\mathbb{C}}(M,\mathbb{C}),\mathbb{C}) $$ es una monstruosidad: infinitamente generada y no graduada. Sin embargo, su doble graduado $$\underline{Hom}_\mathbb{C} (\underline{Hom}_\mathbb{C} (M,\mathbb{C}),\mathbb{C})$$ es isomorfo a $M$ .

Este mantra de la dimensionalidad finita es aún más prominente en el estudio de los esquemas proyectivos. Una gavilla coherente de módulos $\mathcal{M}$ en $\mathbb{P}^n$ no sólo tendrá secciones globales finito-dimensionales, sino que todas las cohomologías superiores de $\mathcal{M}$ será de dimensión finita. Esto significa que se puede hablar de cosas como la dimensión de estas cohomologías, lo que permite definiciones de cosas como "género" y "característica de Euler". Estos conceptos tienen que modificarse mucho para que tengan sentido en los casos afines.

Answer 3

Bueno, si usted está interesado en contar soluciones mod p En efecto, las fórmulas "buenas" están relacionadas con el enfoque homogéneo/espacio proyectivo. No se trata sólo de restablecer la simetría entre variables, aunque eso puede formar parte de ello: hay más transformaciones proyectivas que transformaciones afines. La teoría general de las funciones zeta locales explicaría que contar puntos mod p funciona mejor en el entorno homogéneo, y hacer las cosas no homogéneas va a recortar algunos puntos, de una manera que es relativamente aleatoria.

Essayez http://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates por ejemplo, para la geometría.

Answer 4

Varias de las otras respuestas señalan que

las variedades proyectivas son compactas

de una forma u otra. Permítanme decir lo mismo, en una especie de forma de bajo concepto, que podría encontrar atractivo desde un punto de vista algebraico:

Los polinomios homogéneos permiten despejar denominadores.

La manera formal de decir que estas dos cosas son lo mismo se denomina criterio valorativo de la propiedad (combinado con el hecho de que el espacio proyectivo es propio). La afirmación análoga para las variedades complejas es la siguiente: una variedad compleja $X$ es compacto si y sólo si todo mapa meromorfo de un disco punteado a $X$ se extiende a través de la punción. La prueba de que esto es cierto para $X=\mathbb{CP}^n$ es precisamente: denominadores claros.

En general, el criterio valorativo de la propiedad dice que una variedad $X$ es compacto (léase: un esquema noetheriano es propio) si y sólo si, para cada dvr $R$ con campo de fracción $K$ toda solución de las ecuaciones que definen $X$ en $K$ procede de una solución única en $R$ (para ver la declaración real, haga clic en el enlace de Wikipedia). De nuevo, la prueba de que esto es cierto para las variedades proyectivas es precisamente: denominadores claros. Hay que pensar en $K$ como análogo a un disco perforado, y $R$ a todo el disco.

Answer 5

Una cosa que se puede hacer con ellos es resolver el siguiente problema: dado $f_1,\ldots,f_k$ polinomios en $x_1,\ldots,x_n$ ¿existe un polinomio sobre un campo $K$ llame si $g$ tal que $g=0$ sólo si $f_1=\ldots=f_k=0$ ? La solución que conozco consiste en tomar un polinomio irreducible sobre $K$ (así $K$ no puede ser algebraicamente cerrado), homogeneizándolo, y luego sustituyendo el polinomio original por la nueva variable, e iterando el proceso. La solución puede no ser homogénea, pero los polinomios homogéneos son útiles para resolver algunos problemas planteados enteramente en términos de polinomios arbitrarios.