Forma rápida para expandir $\cos^{-1}(\cos^2 x)$ $O(x^2)$

Question

Para una parte de una pregunta, necesito expandir$\cos^{-1}(\cos^2 x)$$O(x^2)$$x=0$. Me tomó bastante tiempo para obtener una respuesta incorrecta. ¿Cuáles son algunas rápida y eficiente sin conexión (he.e, no alfa) maneras de obtener una buena aproximación?

EDIT: elaborar un poco más, el primer fin de plazo puede afirmar con seguridad a ser $\sqrt{2}x$ ya que esta expresión es la longitud de la hipotenusa de un derecho triángulo esférico, que debe reducir al plano del triángulo de hipotenusa. No "razonamiento" como esto podría funcionar para los de segundo orden término, de manera que tenía que tomar el engorroso camino.

Answer 1

Tenemos $\cos^2 x = \left( 1 - \frac{x^2}{2} + O(|x|^4) \right)^2 = 1 - x^2 + O(|x|^4)$. Desde $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(|x|^4)$, se deduce que el $\cos^{-1} \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) = x + O(|x|^2)$, por lo tanto

$$\cos^{-1} \left( \cos^2 x \right) = \sqrt{2} x + O(|x|^2).$$

Edit: Jyrti parece ser correcto. Escrito $\cos^{-1} \left( \cos^2 x \right) = \sqrt{2} (x + h)$, obtenemos

$$\cos^2 x = 1 - x^2 + O(|x|^4) = 1 - (x + h)^2 + O(|x|^4)$$

para que podamos obtener el $h = O(|x|^3)$. Sólo por diversión, escribir $h = ax^3 + O(|x|^4)$ tenemos

$$1 - x^2 + \frac{x^4}{3} + O(|x|^6) = 1 - x^2 - 2ax^4 + \frac{x^4}{6} + O(|x|^6)$$

por lo tanto $a = - \frac{1}{12}$ y

$$\cos^{-1} \left( \cos^2 x \right) = \sqrt{2} x - \sqrt{2} \frac{x^3}{12} + O(|x|^4).$$

---

Tenga en cuenta que estas series de cálculos son mucho más rápidos que repetir el cálculo de derivadas usando la regla de la cadena. Las manipulaciones que estoy haciendo sentido en el anillo de poder formal de la serie del modulo $x^4$ o $x^5$ o a cualquier precisión que me importa, y en que la generalidad no hay necesidad de pensar en términos de complicadas sumas de productos de funciones (que implícitamente contienen información acerca de las derivadas de todos los órdenes, lo cual es irrelevante).

Answer 2

Qiaochu respuesta de una manera general y que el método debe ser en su bolsa de herramientas.

Hay algunos 'errores' con este problema (sobre todo si la toma de un examen), sin embargo, y usted necesita tener cuidado...

Considere la función

$$g(x) = \begin{cases} \cos^{-1}(\cos^2 x) & x \ge 0 \\ -\cos^{-1}(\cos^2 x) & x \lt 0 \end{casos} $$

Esta función tiene el derivado $\displaystyle g'(x) = \frac{2\cos x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}} \forall x \in (-\epsilon, \epsilon)$

Observe que $g(x)$ es una función impar.

Por lo tanto el poder de la serie sólo tiene términos de la forma$\displaystyle x^{2n+1}$, por lo que

$$g(x) = \sqrt{2}x + \mathcal{O}(x^3)$$

El mismo razonamiento que no se puede aplicar a $\cos^{-1}(\cos^2 x)$, que es una función par, como su derivado en $0$ no existe.

Así que, básicamente, su pregunta es incompleta cuando usted dice acerca de $x = 0$. Técnicamente hablando, como pedido, la derivada en $0$ no existe y por lo que la serie de Taylor de que no existe.

yo.e: en el $(0,\epsilon)$ barrio tenemos

$$\cos^{-1}(\cos^2 x) = \sqrt{2} x + \mathcal{O}(x^3)$$

mientras que en el $(-\epsilon, 0)$ barrio tenemos

$$\cos^{-1}(\cos^2 x) = -\sqrt{2} x + \mathcal{O}(x^3)$$

Answer 3

Por simetría, es suficiente para considerar el caso de $x \to 0^+$. He aquí un riguroso y no demasiado complicado para derivar la forma asintótica de la igualdad $$ \arccos (\cos ^2 x) = \sqrt 2 x - \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}x^3 + O(x^5 )\;\; {\rm como} \; x \to 0^+. $$ De Wikipedia, $$ \arccos x = 2\arctan \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{{1 + x}},\;\; - 1 < x \le 1. $$ Por lo tanto $$ \arccos (\cos ^2 x) = 2\arctan \frac{{\sqrt {1 - \cos ^4 x} }}{{1 + \cos ^2 x}} = 2\arctan \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 + \cos ^2 x} }} = 2\arctan \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2 - \sin ^2 x} }}. $$ A continuación, desde $$ \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}x + O(x^2 ) $$ tenemos $$ \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2 - \sin ^2 x} }} = \bigg(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\sin ^2 x + O(x^4 )\bigg)\sin x. $$ Luego, a partir de $$ \sin x = x - \frac{{x^3 }}{6} + O(x^5 ) $$ tenemos $$ \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2 - \sin ^2 x} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\bigg(x - \frac{{x^3 }}{6}\bigg) + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}x^3 + O(x^5 ) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x + \frac{1}{{12\sqrt 2 }}x^3 + O(x^5 ). $$ A continuación, desde $$ \arctan x = x - \frac{{x^3 }}{3} + O(x^5 ) $$ tenemos $$ \arctan \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2 - \sin ^2 x} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x + \frac{1}{{12\sqrt 2 }}x^3 - \frac{1}{{3\sqrt 2 ^3 }}x^3 + O(x^5 ) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x - \frac{1}{{12\sqrt 2 }}x^3 + O(x^5 ). $$ Finalmente, $$ \arccos (\cos ^2 x) = 2\arctan \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2 - \sin ^2 x} }} = \sqrt 2 x - \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}x^3 + O(x^5 ). $$