Estabilidad de Lyapunov para sistemas no lineales

Question

Estoy tratando de entender atraer, Liapunov estable, asintóticamente estable para sistema acoplado dado. No tengo ninguna función de Liapunov. Sólo dos sistemas acoplados como

$\dot{x} = y$ , $\dot{y} = -4x$

o a veces sistemas normales

$\dot{x} = -x$ , $\dot{y} = -5y$

¿Cómo puedo abordar este problema? ¿Tengo que encontrar los valores propios y luego los vectores propios, escribir la solución, etc o se puede determinar con sólo mirar a los valores propios?

¿O es útil utilizar este diagrama? Supongo que se puede determinar a partir de $\lambda_{1,2} = \frac{1}{2} (\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\Delta})$ $\tau = \lambda_1 + \lambda_2$ et $\Delta = \lambda_1 \lambda_2$

Este es un tema nuevo para mí como estudiante de física, así que estoy algo confuso.

Answer 1

También merece la pena un poco de visión cualitativa geométrica.

Para el primer problema tenemos

$$ \cases{x\dot x = 4x y\\ 4 y\dot y = - 4x y} $$

después de la adición

$$ \frac 12\frac{d}{dt}(x^2+4y^2) = 0 $$

o

$$ x^2+4y^2 = C $$

por lo que esto caracteriza a un centro. Un movimiento conservador que gira eternamente alrededor del origen describiendo una elipse.

Para la segunda tenemos análogamente

$$ \frac 12\frac{d}{dt}(x^2+y^2) = -(x^2+5y^2) $$

y como $x^2+5y^2 > 0$ para $(x,y) \ne (0,0)$

tenemos que el movimiento es disipativo y se dirige al origen describiendo órbitas estables.