Topología estándar en $\mathbb{R}$ no es más fino que $K-$ topología en $\mathbb{R}$ .

Question

Demuestre que la topología estándar en $\mathbb{R}$ es no más fino que $K-$ topología en $\mathbb{R}$ .

Una afirmación equivalente es demostrar que $\exists \,x\in \mathbb{R} $ et $\exists$ un elemento base $B$ en $K-$ topología tal que para todos los conjuntos abiertos $(a,b)$ en topología estándar que contiene $x$ , $(a,b) \not\subset B.$

Munkres sugiere considerar el punto $0 \in \mathbb{R}$ et $B = (-1,1)-K$ y afirma que ningún intervalo abierto $(a,b)$ que contiene $0$ es un subconjunto de $B.$

Tengo problemas para seguir la reclamación. No estoy seguro de cómo el conjunto $B = (-1,1)-K$ parece. Porque si $K = \{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\}$ entonces

$(-1,1)-1=(-2,0)$

$(-1,1)-1/2=(-1.5,0.5)$

$(-1,1)-1/3=(-2/3,2/3)$

$\vdots$

$(-1,1)-1/n $ se acerca a $(-1,1)$ cuando $n$ es muy grande.

Esbozando cada uno de estos intervalos me parece el conjunto $B$ no es más que el conjunto $(-2,1).$ Pero no es el caso, ya que tendríamos $0\in(-1/2,1/2)$ y $(-1/2,1/2)\subset B.$

¿Puede alguien indicar por qué $B \not = (-2,1)$

Answer 1

El símbolo menos en la expresión $(a,b)-K$ denota complemento relativo, no resta de elementos.

Así \begin{align*} (-1,1)-K &=(-1,1)\setminus K\\[4pt] &= (-1,0] \cup\left( \bigl({\small{\frac{1}{2}}},1\bigr) \cup \bigl({\small{\frac{1}{3}}},{\small{\frac{1}{2}}}\bigr) \cup \bigl({\small{\frac{1}{4}}},{\small{\frac{1}{3}}}\bigr) \cup \cdots \right) \end{align*} Por definición, cualquier intervalo abierto es abierto en el $K$ -por lo que cualquier conjunto abierto en la topología estándar sigue siendo abierto en la topología estándar. $K$ -topología.

Para ver que el $K$ -es estrictamente más fina que la topología estándar, basta con observar que ningún intervalo abierto que contenga el elemento $0$ es un subconjunto de $(1,1)-K$ Así que $(1,1)-K$ no está abierta en la topología estándar.

Answer 2

El libro podría haber sido más preciso en la definición de la topología K.

La topología K está generada por elementos base de dos tipos . La primera es $(a,b)$ que son los mismos elementos de base de la topología estándar.

El segundo tipo es $(a,b) - K $ .

La forma de comprobarlo es elegir un elemento base de $\mathcal{R}_K$ et un punto en él. A continuación, tratar de encontrar un elemento base en la segunda topología que incluirá el mismo punto y encajar en el mismo elemento base de $\mathcal{R}_K$ .

Intentamos

$$0 \in (-1,1)-K$$

y ver que no hay ningún intervalo en la topología estándar de la forma $(x,y)$ que incluya el cero y quepa dentro de $(-1,1)-K$ . Porque inevitablemente agarrará algún punto de K que se encuentran en $(0,1)$ .

Tu construcción no funciona porque intentas construir una "tapadera" tomando más de uno elemento base de la topología estándar $\mathcal{R}$ y tomando su unión.

Tienes que poder elegir exactamente UN elemento base.