mayor caudal

Question

Volumen de agua (litros) que ha pasado por el filtro de una piscina t minutos después de arrancar es $$V=\frac{1}{100}(30t^3-\frac{t^4}{4})$$ donde $$0 \le t \le 90$$

¿cuál es el mayor caudal?

Estoy un poco confundido con esta pregunta porque cuando diferencio y lo pongo en $0$ obtengo dos raíces $t=0$ et $t=90$ . Sin embargo, la respuesta me dice que el mayor caudal se produce cuando $t=60$

He comprobado que mi diferenciación es correcta por lo que no estoy seguro de cómo obtener el máximo, ¿hay algo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Estableciendo $\frac{dV}{dt}$ a $0$ se encuentran los extremos de $V$ no de la tasa.

Lo que necesitas es maximizar $\frac{dV}{dt}$ cuyo extremo puede encontrarse fijando la derivada de $\frac{dV}{dt}$ a $0$ .

Así que.., $$\frac{d^2V}{dt^2}=\frac{1}{100}(180t-3t^2)=0$$ que da $$180t=3t^2$$ $$t=0,60$$

Tomando la segunda derivada de $\frac{dV}{dt}$ utilizando la prueba de la segunda derivada, $$\frac{d^3V}{dt^3}(0)=\frac{9}{5}\gt0\implies\text{minimum}$$ $$\frac{d^3V}{dt^3}(60)=-\frac{9}{5}\lt0\implies\text{maximum}$$

Así, el caudal máximo se sitúa en $t=60$ .