Acabo de leer este artículo sobre algunas preguntas difíciles de la entrevista . Una de las preguntas (supuestamente formuladas en una entrevista para un puesto de analista de tecnología en Goldman Sachs) era:
Hay infinitos puntos blancos y negros en un plano. Demuestra que la distancia entre un punto negro y un punto blanco es una unidad.
No estoy seguro de cómo debo interpretar esto. ¿Falta algo en la pregunta, o se puede demostrar?
Si se hace clic en el enlace se encuentra una imagen que tiene puntos negros sobre un fondo blanco. Esto sugiere que coloreamos cada punto en el plano ya sea blanco o negro, asegurándose de usar infinitas cantidades de cada color. Con estas restricciones se da el caso de que debe haber un punto negro y un punto blanco a una distancia unitaria. (De hecho, "infinito" puede debilitarse a no vacío).
Sugerencia: empezando con un punto negro, hemos terminado a menos que todo el círculo unitario alrededor de ese punto sea negro. Ahora repite ese argumento para cada punto de ese círculo unitario: ya hemos generado una franja considerable del plano de color totalmente negro...
La afirmación es en general falsa: por ejemplo, si los puntos negros están todos y sólo en el lugar $x=0$ mientras que los blancos están todos y sólo en el locus $x=2$ entonces la afirmación es falsa (estamos utilizando la distancia euclidiana).
Probablemente haya alguna hipótesis más de fondo O el objetivo de la pregunta es sólo analizar la forma en que el candidato se enfrenta a un problema matemático dado, llegando a conclusiones que pueden estar en contraste con la tesis de alguna pregunta.
Otro contraejemplo. Tome la línea real con cada número entero coloreado en blanco y todos los demás puntos coloreados en negro.
Por otro lado, si cada punto de todo el plano está coloreado de blanco o de negro, con un número infinito de cada uno, e intentamos construir un contraejemplo, ocurre lo siguiente. Hay al menos un punto blanco $P$ . Para evitar los puntos negros en la distancia $1$ coloreamos la circunferencia del círculo unitario centrado en $P$ blanco también. Entonces cada punto del círculo está a una distancia unitaria de algún punto de la circunferencia, por lo que el interior del círculo tiene que ser blanco. Finalmente concluimos que todo el plano es blanco, lo que contradice la existencia de un punto negro.
Suponiendo que cada punto del plano es blanco o negro, he aquí una forma "constructiva" rápida de encontrar dos puntos de color opuesto a distancia $~1$ . Como hay puntos blancos y negros, el infimo $r$ de las distancias entre los puntos blancos y negros está bien definida. Si $r>0$ entonces existe un par blanco-negro a la distancia $d$ con $r\leq d<2r$ y el punto medio entre ellos está a la distancia $d/2<r$ de cualquiera de los dos, por lo que no puede ser blanco o negro por la elección de $r$ una contradicción. Así que $r=0$ y existe un par blanco-negro a la distancia $d<1$ entre sí. Los círculos de radio $~1$ centrados en estos puntos se cruzan, y emparejando los dos centros con los dos puntos de intersección se obtiene al menos un par blanco-negro a distancia $~1$ (de hecho uno recibe dos pares).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
