Maximizar $\sqrt6xy+4yz$

Question

Sea $x, y, z$ sean números reales tales que $x^2+y^2+z^2=1$ .

Sea $A$ sea el valor máximo de $\sqrt6xy+4yz$ . Visite $2A^2-4$ .

Una primera aproximación fue probar la desigualdad $\text{RMS-AM-GM}$ . Entonces intenté una sustitución paramétrica: $x=\cos\alpha, y=\sin\alpha cos\beta, z=\sin\beta \sin\alpha$ . ¿Cómo lo haría?

Answer 1

CONSEJO

$$1=x^2+y^2+z^2=x^2+ay^2+(1-a)y^2+z^2 \ge 2\sqrt{a}xy+2\sqrt{(1-a)}yz \quad (\because \text{AM-GM})$$

$$a=\frac{3}{11}$$

Tenga en cuenta que $2\sqrt{a}:2\sqrt{(1-a)}=\sqrt{6}:4$ .

Sea $2\sqrt{a}= \sqrt{6}k$ y multiplicar $k$ a cada lado.

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

En $y$ se repite en $\sqrt6xy+4yz,$

WLOG elegir $y=\cos\alpha, x=\sin\alpha\cos\beta, z=\sin\beta\sin\alpha$

$\sqrt6xy+4yz=\cos\alpha\sin\alpha(\sqrt6\cos\beta+4\sin\beta)$ $=\dfrac{\sin2\alpha}2\cdot\sqrt{22}\cos\left(\beta-\arccos\sqrt{\dfrac6{22}}\right)$

$\le\dfrac{\sqrt{22}}2$

La igualdad se produce si $\sin2\alpha=1$ y $\beta=\arccos\sqrt{\dfrac6{22}}$

$\iff\alpha=180^\circ n+45^\circ$ y $\cos\beta=\sqrt{\dfrac6{22}};\sin\beta=\dfrac4{\sqrt{22}}$