Cómo encontrar la temperatura más baja en esta línea.

Question

Supongamos que $ T (x, y) = 4x ^ 2 + 9y ^ 2$ representa una distribución de temperatura en el plano xy: $T (x, y)$ es la temperatura, que podemos suponer en grados Celsius, en el punto (x, y). Determina el punto de menor temperatura de la recta $x + y = 1$

Para resolver este problema pensé que el punto de menor temperatura sería la intersección entre la recta x + y = 1 y la curva de nivel formada por la curva $z = 4x ^ 2 + 9y ^ 2$ por lo que el $x$ y $y$ las coordenadas de ese punto tendrían que ser iguales en ambas ecuaciones, así que aislo y me quedo con $y = 1 - x$ . Sin embargo, al sustituir esta y en la ecuación de dos variables, llegué al siguiente absurdo: $$4x² + 9 (1-x)²= 0$$ $$4x² + 9 (1-2x+x²)= 0$$ $$4x² + 9 -18x +9x²= 0$$ $$13x² -18x +9 = 0$$ $$ x = \frac{18 \pm \sqrt 324 - 468}{26} $$ Me pregunto si mi razonamiento es erróneo o si me equivoco en los cálculos, y en qué me equivoco.

Answer 1

Sustituyendo por $y = 1-x$ era correcto, pero no tienes que resolver para $x$ , porque eso sólo te da el punto en el que coinciden las 2 ecuaciones, pero no lo que te han pedido.

Tu nueva temperatura, $T_{new}(x)$ después de sustituir se convierte en :

$$T_{new}(x) = 4x² + 9 (1-x)² = 13x² -18x +9 $$

Para determinar la "temperatura mínima", hay que encontrar los mínimos de esta función, lo que se hace hallando la derivada y su raíz :

$$T_{new}'(x) = 0 \Rightarrow 26x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = 18/26$$

Entonces, usted tiene : $y=1-x$ Así que..:

$$y_{min} = 1 -x_{min} \Rightarrow y_{min} = 1 -18/26 = 7/26 $$

Por lo tanto, el punto en el que se observa la temperatura más baja sobre su línea dada es :

$$\bigg(\frac{18}{26},\frac{7}{26}\bigg)$$

Sabemos que es un mínimo ya que por la forma y los signos de $T_{new}(x)$ .

Answer 2

Puede utilizar $y = 1 -x$ eliminar $y$ de la fórmula por lo que es una fórmula simple de sólo $x$ . Ahora, la différentiation encontrará fácilmente el mínimo.