No tengo intuición para la teoría de campos, así que aquí va. Sé lo que son los cierres algebraicos y separables de un campo, pero no tengo ni idea de lo diferentes (¡o iguales!) que podrían ser.
Entonces, ¿cuáles son las diferencias entre ellos (si las hay) para un campo perfecto? ¿Un campo finito? ¿Un campo numérico?
¿Existen paralelismos geométricos? (digamos pasar a esquemas, o cualquier otra analogía)
Geométricamente hay una diferencia muy grande entre separable y algebraico (en el único caso en que hay diferencia, es decir, en los cierres positivos característica positiva $p$ ). Técnicamente, esto viene del hecho de que un algebraicamente cerrado algebraicamente $k$ no tiene derivaciones no triviales $D$ para cada $f\in k$ hay a $g\in k$ tal que $g^p=f$ y luego $D(f)=D(g^p)=pg^{p-1}D(g)=0$ . Esto significa que un campo algebraicamente cerrado no contiene información diferencial geométrica. Por otra parte, si $K\subseteq L$ es una extensión separable, entonces toda derivación de $K$ se extiende unívocamente a una derivación de $L$ por lo que al tomar una cierre separable de un campo queda mucha información diferencial-geométrica.
De ahí que tienda a pensar en un punto de una variedad para un campo cerrado separable como un punto muy grueso (sobre todo si es un cierre separable de un punto genérico) mientras que un punto sobre un campo algebraicamente cerrado es simplemente un punto ordinario (muy fino) ordinario (muy fino).
Por supuesto, se pierde una información infinitesimal si sólo se pasa a la función perfección de un campo (que se define más convenientemente como la directa sobre el sistema de $p$ mapas de potencia). Sin embargo, a veces eso es exactamente lo que quieres. Esa idea apareció por primera vez (creo) en la teoría de Serre de grupos pro-algebraicos de Serre donde fue un paso más allá y tomó la perfección de esquemas de grupo (para cualquier esquema en característica positiva la perfección es el límite inverso esta vez, del sistema de morfismos de Frobenius) o equivalentemente restringió sus funtores representables a esquemas perfectos. Esto es esencialmente todos los esquemas de grupo infinitesimales e hizo la teoría mucho más cercana a a la teoría de la característica cero (aunque se mantuvieron diferencias interesantes principalmente en el hecho de que hay más esquemas de grupo unipotentes suaves, como los esquemas vectoriales de Witt. ). Otro ejemplo interesante es la cohomología plana de Milne dualidad plana de Milne, que necesita invertir Frobenius pasando a esquemas perfectos para para tener $\mathrm{Ext}$ -Los grupos desaparecen (véase SLN 868).
En primer lugar, no hay el cierre algebraico/separable. Hay que elegir. Sin embargo, si un cierre algebraico $k^{\mathrm{alg}}$ de $k$ es fija, dentro de ella hay un único cierre separable $k^{\mathrm{sep}}$ de $k$ es decir, el subcampo formado por los elementos separables sobre $k$ .
Ignorando el fracaso de la unicidad, se puede considerar $k^{\mathrm{alg}}$ como la mayor extensión algebraica de $k$ mientras que $k^{\mathrm{sep}}$ es la mayor extensión galois de $k$ . Esto último se debe a que $k^{\mathrm{sep}}$ se ve fácilmente que es normal. En particular, se puede aplicar la teoría de Galois y relacionar la teoría de grupos del grupo absoluto de Galois $\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ con la teoría de campos de extensiones de Galois de $k$ . El cierre algebraico es demasiado grande para que funcione la teoría de Galois.
Obviamente $k$ es perfecta si y sólo si $k^{\mathrm{alg}} = k^{\mathrm{sep}}$ . Campos finitos y campos característicos $0$ (en particular los campos numéricos) son perfectos. Pero, ¿cuál es la diferencia en los demás casos? Veamos $p = \mathrm{char}(k) > 0$ . Entonces $k^{\mathrm{alg}} / k^{\mathrm{sep}}$ es puramente inseparable, es decir, para cada $a \in k^{\mathrm{alg}}$ hay algo de $n \geq 1$ tal que $a^{p^n} \in k^{\mathrm{sep}}$ . En otras palabras, esta extensión de campo viene dada por la unión de todos los $p^n$ -enésima raíz. Una consecuencia de esto es que el mapa de restricción $\mathrm{Aut}_k(\overline{k}) \to \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ es un isomorfismo.
En realidad se puede demostrar que el mapa canónico $k^{\mathrm{sep}} \otimes_k k^{\mathrm{perf}} \to k^{\mathrm{alg}}$ es un isomorfismo, donde $k^{\mathrm{perf}}=\cup_{n \geq 0} k^{1/p^n}$ es el casco perfecto de $k$ .
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