Existencia de triples pitagóricos primitivos

Question

Sea $(a,b,c)$ sea un triple pitagórico, lo que significa que $c^2=a^2+b^2$ .

Si $c$ es impar y $a$ & $b$ son relativamente primos, entonces existen enteros $m$ y $n$ tal que $c=m^2+n^2, ~a=m^2-n^2, ~b=2mn$ .

Se puede comprobar fácilmente lo anterior demostrando $\gcd(\frac{a+c}{2},\frac{a-c}{2})=1$ .

Mi pregunta es si la inversa de la abov Ÿ Siempre que el número impar $c$ es una suma de 2 cuadrados, entonces existen enteros $a$ y $b$ satisfaciendo $c^2=a^2+b^2$ y $\gcd(a,b)=1$ .

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

El número impar $45$ es una suma de dos cuadrados, pero no de dos cuadrados relativamente primos.

En términos más generales, que el número impar $n$ ser de la forma $p_1^{2a_1}\cdots p_k^{2a_k}m$ donde el $p_i$ son primos congruentes con $3$ modulo $4$ y $m$ es un producto de primos congruentes a $1$ modulo $4$ . Entonces $n$ es una suma de dos cuadrados, pero no es la suma de dos cuadrados relativamente primos.

Answer 2

$$\text{For any C, if } n=\frac{-1\pm \sqrt{2C-1}}{2}\text { yields an integer for }n, \text{then you have a primitive triple.}$$

$$A=2n^2+1\quad B=2n^2+2n\quad C=2n^2+2n+1 \text{ where }C-B=1$$

$$\text{If }n=\sqrt{\frac{C-1}{4}}\text{ yields an integer for n, you have a primitive triple.}$$

$$A=4n\quad B=4n^2-1\quad C=4n^2+1\quad \text{where }C-B=2$$

En caso contrario $$C=m^2+n^2\Rightarrow n=\sqrt{C-m^2}\text{ where } \biggl\lceil\sqrt{\frac{C}{2}}\space\space\biggr\rceil \le m\le\bigl\lfloor\sqrt{C}\bigr\rfloor$$ Para cualquier valor no entero $n$ ese valor de $C$ no forma parte de ninguna primitiva. Para cualquier valor entero de $n$ entonces $C$ forma parte de una primitiva o de un múltiplo en el que el múltiplo es $2$ o un cuadrado perfecto. La única forma de estar seguro es generarlos con la fórmula de Euclides y comprobar el DGC.

Por ejemplo $C=25$ entonces $m_{min}=\lceil\sqrt{12.5}\space\rceil=4$ y $m_{max}=\lfloor\sqrt{25}\rfloor=5.$ Podemos ver que $\sqrt{25-16}=3$ y $f(4,3)=(7,24,25)$ . Sin embargo, también podemos ver por inspección que $m=5$ conduce a una solución trivial. Esto sólo ocurre cuando $C$ es un cuadrado perfecto.