Demostrar que una función es continua en un espacio métrico

Question

Este es el problema:

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico, y sea $A$ sea un subconjunto cerrado no vacío de $X$ $($$ \varnothing\neq $$A$$ \subconjunto $$X)$ y que $f:A\to\mathbb{R}$ sea una función continua acotada . Quiero demostrar que la función $g:X\!\smallsetminus\!A\to \mathbb{R}$ que se define por $$g(x)=\inf\{\,f(y)d(x,y):y\in A\}$$ es continua .

Estoy pensando que ya que tenemos $\inf\{d(x,y):y\in A\}$ y $A$ es un subconjunto cerrado no vacío de $X$ deberíamos utilizar el hecho de que $\text{dist}(x,A)$ es continua si $A$ es un subconjunto cerrado no vacío de $X$ . También desde $f:A\to\mathbb{R}$ es una función continua acotada y $A$ es cerrado su ínfimo debe ser su mínimo. Así que en cierto modo el producto de $\inf\{f(A)\}\text{dist}(x,A)$ es continua. No estoy seguro de estar en el buen camino. Me vendría bien un poco de ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $M=\sup\lvert\,f(x)\rvert$ . Entonces $$ \lvert\,f(y)d(x_1,y)-f(y)d(x_2,y)\rvert \le \lvert\,f(y)\rvert \lvert d(x_1,y)-d(x_2,y) \lvert \le M \lvert d(x_1,y)-d(x_2,y) \lvert\le M d(x_1,x_2), $$ desde $\lvert d(x_1,y)-d(x_2,y)\rvert \le d(x_1,x_2)$ y, por tanto $$ f(y)d(x_2,y)-M d(x_1,x_2)\le f(y)d(x_1,y)\le f(y)d(x_2,y)+M d(x_1,x_2). $$ Así $$ g(x_1)=\inf_y f(y)d(x_1,y)\le f(y)d(x_2,y)+M d(x_1,x_2), $$ y, por tanto, para cada $y$ $$ g(x_1)-Md(x_1,x_2)\le f(y)d(x_2,y), $$ y así $$ g(x_1)-Md(x_1,x_2)\le \inf_y f(y)d(x_2,y)=g(x_2) $$ o $$ g(x_1)-g(x_2)\le Md(x_1,x_2). $$ Intercambiando $x_1$ y $x_2$ obtenemos $$ g(x_2)-g(x_1)\le Md(x_1,x_2), $$ y así $$ \lvert g(x_2)-g(x_1)\rvert \le Md(x_1,x_2). $$

Answer 2

Pista. No está claro si este planteamiento funciona, porque el hecho de que se busque un mínimo dificulta el uso de la continuidad de $d$ directamente. Es mejor que demuestres una desigualdad. (Además, te equivocas al decir que el ínfimo es un mínimo - $A$ puede ser cerrado pero no compacto).

En concreto, si $f$ está limitada en valor absoluto por $M$ entonces sugeriría probar que $|g(x_2) - g(x_1)| \leq Md(x_2,x_1)$ .

Edición: Como ya se ha dado una respuesta completa, yo también daré la mía. Deja que $x_1, x_2 \in X$ y $\epsilon > 0$ se dará. Elija $a \in A$ tal que $f(a)d(x_1,a) \leq g(x_1) + \epsilon$ . Entonces $$g(x_2) \leq f(a)d(x_2,a) = f(a)d(x_1,a) + f(a)[d(x_2,a) - d(x_1,a)] \leq g(x_1) + \epsilon + Md(x_2,x_1).$$ Dejar $\epsilon \to 0$ encontramos $g(x_2) - g(x_1) \leq Md(x_2,x_1)$ . Invertir los papeles de $x_1$ y $x_2$ se obtiene la desigualdad deseada.