Demostrar que el conjunto B es contable - ¿Es correcta esta demostración?

Question

Parece que tengo algunos problemas con el rigor de esta prueba y no sé qué estoy haciendo mal. ¿Podría alguien decirme si esta prueba es correcta y lo suficientemente rigurosa?

He aquí la pregunta

Demostrar que si B $\subseteq$ A y A es contable, entonces B es contable.

He aquí cómo lo probé:

Supongamos que B $\subseteq$ A y A es contable. Como A es contable, es finito o denumerable. Considerando los casos:

Caso 1: A es finito. Entonces A $\sim I_n$ donde n=|A|. Puesto que B $\subseteq$ A, se deduce que B $\sim I_n$ . Por tanto, B es finito. Por lo tanto B es contable.

Caso 2: A es denumerable. $Z^+ \sim$ A. Puesto que B $\subseteq$ A, it se deduce $Z^+ \sim$ B. Por tanto, B es denumerable. Por lo tanto B es contable.

Por lo tanto, B es contable como se deseaba.

** $Z^+$ son los números enteros positivos.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

***Actualización:algunas aclaraciones,

$\sim$ significa equinumérico

Que A sea contable significa que A es finito o denumerable.

Un conjunto A se denomina denumerable Si $Z^+$ $\sim$ A.

Answer 1

Cuando dice "Desde $B\subseteq A$ lo siguiente $B \sim I_n$ "Se podría considerar que la mera afirmación de lo que se quiere demostrar añadiendo "se deduce" no es realmente una prueba.

Yo empezaría por el hecho de que desde $A$ es contable existe una "función de recuento $C(A)$ " (un mapa inyectivo $C : A \mapsto \Bbb{N} : \forall a, b \in A, C(a) = C(b) \implies a=b $ . Consideremos ahora la restricción de esa función de recuento al subconjunto $B$ y es fácil demostrar que también es una inyección, por lo que es una función de recuento válida para $B$ .

Answer 2

No estoy muy familiarizado con la $\sim$ para conjuntos, lo que significa que están en biyección.

En cualquier caso, creo que la parte difícil del argumento implica subconjuntos infinitos de $A$ . En consecuencia, creo que en este caso podrías utilizar más argumentos, en lugar de "se deduce que ". $Z^+ \sim B$ ."

Por ejemplo, si es porque $B \subseteq A$ da lugar a una función de inclusión inyectiva, y la composición de funciones inyectivas es inyectiva, ¡dígalo!