Demostrar que una sucesión es una sucesión de Cauchy utilizando la definición

Question

Pretendo demostrar que la secuencia $<f_n>$ donde $f_n$ = $ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}........+\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ es una sucesión de Cauchy utilizando la definición de sucesión de Cauchy.

Mi intento: Deja $\epsilon>0$ y $n>m$

$|f_n-f_m|=|\frac{(-1)^m}{m+1}+\frac{(-1)^{m+1}}{m+2}........\frac{(-1)^{n-1}}{n}|$

Estoy atascado aquí por ¿cómo puedo encontrar un m particular para cada $\epsilon>0$ tal que se cumplan las condiciones requeridas para ser una sucesión de Cauchy.

Answer 1

Si $(n-m)$ es impar, podemos suponer $m$ sin pérdida de generalidad, ya que $\left\lvert k \right\rvert = \left\lvert -k \right\rvert$ . Entonces \begin{align*}\left\lvert f_n - f_m\right\rvert &= \left\lvert \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} + \frac{1}{m+3} - \frac{1}{m+4} + \dotsb + \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right\rvert \\ &= \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} + \dotsb + \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\end{align*} ya que podemos ver que cada par de términos, de la forma $\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$ es positivo, y el término final, $\frac{1}{n}$ también es positiva, por lo que toda la expresión dentro de los signos de valor absoluto es positiva. Ahora, podemos reescribir esto como \begin{align*}\left\lvert f_n - f_m \right\rvert = \frac{1}{m+1} + \left(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+2}\right) + \dotsb + \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right)\end{align*} donde cada paréntesis es claramente negativo (o cero), de lo que se deduce que \begin{equation*}\left\lvert f_n - f_m \right\rvert \leq \frac{1}{m+1} \leq \frac{1}{m}\end{equation*} En caso de que $(n-m)$ es par, supongamos de nuevo $m$ sin pérdida de generalidad. Ahora podemos reutilizar nuestro trabajo anterior, ya que tenemos \begin{align*}\left\lvert f_n - f_m \right\rvert &= \left\lvert f_{n} - f_{m+1} + f_{m+1} - f_{m}\right\rvert \\ &\leq \left\lvert f_{n} - f_{m+1}\right\rvert + \left\lvert f_{m+1}-f_{m}\right\rvert \qquad \text{(by the triangle inequality)} \\ &= \left\lvert f_{n} - f_{m+1}\right\rvert + \frac{1}{m+1} \\ &\leq \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m+1} \qquad \text{(by the above working, as $(n-(m+1))$ is odd)} \\ &\leq \frac{2}{m}\end{align*}

Desde $\frac{1}{m} \leq \frac{2}{m}$ se deduce que se puede hacer $\left\lvert f_n - f_m \right\rvert$ menos de lo deseado $\epsilon > 0$ tomando $n > m > \frac{2}{\epsilon}$ Así que ya está.