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Solución de la ecuación de Fredholm homogénea de 2º tipo con núcleo gaussiano no simétrico

Necesito determinar las funciones propias del siguiente núcleo:

$$k\left(x',x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ax}}\exp\left(-\frac{\left(x'-x\right)^{2}}{2ax}\right)$$

donde $a>0$ es un parámetro real positivo y $x$ va de $0$ a $1$ . Específicamente, necesito determinar las funciones propias con valor propio 1. Es decir, necesito encontrar las funciones $f(x)$ que son soluciones de la siguiente ecuación:

$$f(x') = \int_0^1 k(x',x)f(x)\mathrm d x$$

Tenga en cuenta que el núcleo es no simétrico, $k(x,x') \ne k(x',x)$ . Además, necesitamos imponer una condición de regularidad en $x\rightarrow 0$ . Exigimos que $|k(x',x)f(x)|^2 \le A$ donde $A$ es una constante positiva.

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ray247 Puntos 3268

El "núcleo" que has escrito no es integrable ni siquiera para $L^2$ sobre la recta real positiva. Para ver esto $x'=0$ y $f\sim |x|^{-1/4-\epsilon}$ cerca de cero, entonces hay que integrar $$ \sim \int \frac{1}{x^{1+\epsilon}}e^{-x} $$ y cerca de $x=0$ tenemos una explosión. Así que la fórmula tiene poco sentido a menos que impongas ciertas condiciones de decaimiento. Supongo que la fórmula viene de cierta familia exponencial escala-ubicación.

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