Necesito determinar las funciones propias del siguiente núcleo:
$$k\left(x',x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ax}}\exp\left(-\frac{\left(x'-x\right)^{2}}{2ax}\right)$$
donde $a>0$ es un parámetro real positivo y $x$ va de $0$ a $1$ . Específicamente, necesito determinar las funciones propias con valor propio 1. Es decir, necesito encontrar las funciones $f(x)$ que son soluciones de la siguiente ecuación:
$$f(x') = \int_0^1 k(x',x)f(x)\mathrm d x$$
Tenga en cuenta que el núcleo es no simétrico, $k(x,x') \ne k(x',x)$ . Además, necesitamos imponer una condición de regularidad en $x\rightarrow 0$ . Exigimos que $|k(x',x)f(x)|^2 \le A$ donde $A$ es una constante positiva.