En una pirámide Recta, es decir, con todas las aristas iguales entre sí y una altura que llega hasta el centro de la figura geométrica que le sirve de base, ¿podemos decir que si esa figura es un triángulo isósceles, entonces la altura de la pirámide interseca a la base en el punto donde se encuentran las mediatrices del triángulo?
Respuesta
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Cuando no se te ocurra nada inteligente, calcula. La perspicacia puede venir después.
Sean las coordenadas de los dos puntos base de nuestro triángulo $(-a,0,0)$ y $(a,0,0)$ . Sea el otro vértice en $(0,b,0)$ . Que la "punta" de la pirámide esté en $T=(0,y,z)$ . Entonces la condición de igual distancia dice que $$a^2+y^2+z^2=(y-b)^2+z^2,$$ lo que significa que $z$ es irrelevante (y en retrospectiva geométrica esto es obvio), y $2by=b^2-a^2$ .
Sea $T_0$ sea el punto donde la perpendicular desde $T$ a la $x$ - $y$ avión se encuentra con el avión. Entonces $T_0$ tiene coordenadas $\left(0, \frac{b^2-a^2}{2b},0\right)$ .
Veamos ahora si las mediatrices de los lados del triángulo inferior se encuentran en $T_0$ .
Sólo tenemos que preocuparnos de la mediatriz del lado que une $(a,0,0)$ y $(0,b,0)$ .
Por comodidad, ya que estamos trabajando en el $x$ - $y$ plano, suprimimos la tercera coordenada.
La mediatriz del lado que une $(a,0,0)$ y $(0,b,0)$ pasa por $(a/2,b/2)$ y tiene pendiente $\frac{a}{b}$ .
Hallemos pues la pendiente de la recta que une $(a/2,b/2)$ a $T_0=(0,(b^2-a^2)/2b)$ .
Calcula. Resulta $\frac{a}{b}$ exactamente lo correcto, así que hemos terminado.
Añadido: Y ahora, en retrospectiva, es obvio. Deshazte de las coordenadas. La proyección $T_0$ de $T$ en la base equidista de los tres vértices del triángulo base. El punto que equidista de los tres vértices de cualquier triángulo es el punto donde se encuentran las mediatrices de los lados.
