cuerda de la gráfica de una función paralela a una cuerda dada de la misma gráfica

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio, aunque intuitivamente parece lógico, no puedo demostrarlo formalmente.

Sea $a,\,b\in \mathbb{R}$ tal que $a\lt b$ y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función real continua y diferenciable sobre $[a,b]$ . Demostrar que $\exists c\exists d\in \mathbb{R}$ tal que $a\lt c\lt d\lt b$ y las rectas que pasan por los puntos $A(a,f(a)),\,B(b,f(b))$ y $C(c,f(c)),\,D(d,f(d))$ respectivamente son paralelas entre sí, por lo que $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.$$

¿Alguien puede dar una pista o cómo empezar? Estoy pensando que tengo que definir una función adecuada y aplicar el MVT dos veces cada uno a un intervalo de la forma $[a,]$ , $[,b]$ donde se ha seleccionado sabiamente $$?

Answer 1

Pista. Su función adecuada es $$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

Es el IVT lo que necesitas, y el requisito sobre $\xi$ es sólo eso $g(\xi)\neq 0$ .

En el caso muy especial de que no exista tal $\xi$ es aún más fácil, porque entonces $f$ es $\ldots$