Cardinalidad de las permutaciones de un conjunto infinito

Question

Si tenemos un conjunto infinito X de cardinalidad k, ¿cuál es la cardinalidad de Sym(X), el grupo de permutaciones de X?

Answer 1

$k^k$ .

Fácil que es un límite superior. Para el límite inferior dividir $X$ en dos equidistantes subconjuntos; hay $\ge k^k$ permutaciones intercambiando los dos subconjuntos.

Answer 2

Como ya se ha mencionado, tenemos $$2^k\le k^k\le(2^k)^k=2^{kk}=2^k,$$ y así $2^k=k^k$ . La desigualdad $k!\le k^k$ es obvio. Para comprobar $2^k\le k!$ Obsérvese que $2^k$ subconjuntos de $X$ son el conjunto de puntos fijos de alguna permutación. Conclusión: $k!=2^k$ .

(No entiendo el argumento de Robin Chapman).

Answer 3

Dado que los comentarios a la respuesta de Steve0078 plantean cuestiones relativas al axioma de elección, permítanme señalar que John Dawson y Paul Howard han demostrado que, en la teoría de conjuntos sin elección, el número de permutaciones de un conjunto infinito $X$ puede relacionarse de forma coherente con el número de subconjuntos de $X$ por una desigualdad estricta en cualquier dirección; los dos números también pueden ser incomparables; y por supuesto pueden ser iguales como en presencia de elección. (Lema: Sin elección, no se puede demostrar nada sobre esos dos cardinales.) La referencia para esto es " Factoriales de infinitos cardinales " en Fundamenta Mathematicae 93 (1976) pp. 186-195 (Math Reviews volumen 55 #7779 ).

Answer 4

He aquí otra solución: $X$ es infinito y por tanto hay dos elementos $x_1$ y $x_2$ . Sea $X'=X\setminus \lbrace x_1,x_2\rbrace$ . Tengo que $|X|=|X'|$ y así $|P(X)|=|P(X')|$ . Sea $A$ sea un subconjunto de $X'$ y así $|X\setminus A|\ge 2$ . Entonces existe una permutación $f:X\setminus A \to X\setminus A$ sin puntos fijos. Entonces extiendo $f$ a $X$ dejando fijos los elementos de $A$ . El conjunto de los puntos fijados por $f$ es entonces $A$ . Así que tengo un surjection $Sym(X) \to P(X')$ . Por lo tanto $|Sym(X)| \ge |P(X')|=|P(X)|$ . Que $|Sym(X)| \le |P(X)|$ es fácil.