Demostrar que la integral está relacionada con la función seno en medios elementales

Question

Así que estoy tratando de demostrar la fórmula de reflexión para la función gamma mostrando que $$\int_{0}^{\infty} \frac{v^{s-1}}{1+v}dv=\frac{\pi}{\sin(\pi s)}$$ para $0 < \Re(s) < 1$ ya que estas dos afirmaciones son (casi) equivalentes. Quiero hacer esto con medios elementales si es posible (Tenía la esperanza de que era posible demostrarlo sin utilizar realmente la integración compleja, ya que el integrando es real, tratando s "como si" fuera simplemente real).

Mi primer intento fue el siguiente: supongamos que

$$\frac{d}{dv}\left \{ \frac{f(v)}{g(v)} \right \}= \frac{v^{s-1}}{1+v}$$ para que $$\frac{f'g-g'f}{g^2}=\frac{v^{s-1}}{1+v}$$ Así, tenemos $g(v)=\sqrt{1+v}$ . Multiplicando por el denominador se obtiene: $$f'g-g'f=v^{s-1}$$ O lo que es lo mismo: $$\sqrt{1+v} f'(v)-\frac{f(v)}{2\sqrt{1+v}}=v^{s-1}$$ Pensé en intentar resolverlo mediante la transformada de Laplace, pero no llegué a ninguna parte. La razón es que no conozco la transformada de Laplace de $v^{s-1}\sqrt{1+v}$
También intenté expresar $$\frac{v^{s-1}}{1+v}$$ como una serie de Laurent y utilizando la integración término a término, sin éxito. ¿Alguien sabe cómo demostrar la identidad dada (de la forma más sencilla posible)?

Gracias, R :)

Answer 1

La integral dada está estrechamente relacionada con la transformada de Mellin y puede evaluarse utilizando Teorema maestro de Ramanujan .

Teorema maestro de Ramanujan

Sea $f(v)$ sea una función analítica con una expansión de MacLaurin de la forma $$f(v)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\phi(k)}{k!}(-v)^k$$ entonces la transformada de Mellin de esta función viene dada por $$\int_0^{\infty}v^{s-1}f(v)dv=\Gamma(s)\phi(-s)$$

Para llegar ahí podemos expandir la fracción como una serie geométrica

$$\begin{align*} \int_0^\infty \frac{v^{s-1}}{1+v}\mathrm dv&=\int_0^\infty v^{s-1}\sum_{k=0}^\infty (-v)^k\mathrm dv\\ &=\int_0^\infty v^{s-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1)}{k!}(-v)^k\mathrm dv \end{align*}$$

Ahora podemos utilizar el teorema anterior con $s=s$ y $\phi(k)=\Gamma(k+1)$ para obtener

$$\begin{align*} \int_0^\infty v^{\nu-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1)}{k!}(-v)^k\mathrm dv&=\Gamma(s)\Gamma(1-s)\\ &=\frac\pi{\sin(\pi s)} \end{align*}$$

donde utilizamos la Fórmula de Reflexión de Euler para realizar el último paso.

$$\therefore~\int_0^\infty \frac{v^{s-1}}{1+v}\mathrm dv~=~\frac\pi{\sin(\pi s)}$$

Answer 2

Otro método.

Recordemos la definición de la función Beta: $$\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=\mathrm{B}(b,a)$$ A continuación, recuerde la fórmula de reflexión Gamma: $$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin\pi s}$$ Así que con $a=s$ y $b=1-s$ tenemos $$\int_0^1t^{s-1}(1-t)^{-s}\mathrm dt=\int_0^1t^{-s}(1-t)^{s-1}\mathrm dt=\frac\pi{\sin\pi s}$$ A continuación, utilice la sustitución $x=\frac{1-t}{t}$ para ver que $$\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{1+x}\mathrm dx=\int_0^1t^{-s}(1-t)^{s-1}\mathrm dt=\frac\pi{\sin\pi s}$$ Como desee.