Tengo que demostrar lo siguiente:
Sea $(G,+)$ sea un grupo abeliano finitamente generado y libre de torsión, entonces $G\cong \mathbb{Z}^d$ donde $d$ es la cardinalidad del conjunto generador más pequeño posible de $G$ .
He llegado a una prueba que muestra $G\cong \mathbb{Z}^d$ pero no uso el hecho de que $G$ es un grupo libre de torsión que, como mínimo, es impar.
¿Es necesaria esta hipótesis? ¿He cometido un error por descuido en mi prueba?
He aquí la prueba:
$G = \langle g_1, g_2, ..., g_d\rangle$
Sea $f : G \rightarrow \mathbb{Z}^d : g = \sum_{i = 1}^d a_ig_i \mapsto (a_1,a_2, ..., a_d)$ .
Entonces $f$ es un homoformismo:
Sea $g' = \sum_{i=1}^d a_i'g_i \in G \; $ y $ g = \sum_{i = 1}^d a_ig_i \in G$
$$f(g+g') = (a_1 + a_1', ...,a_d + a_d') = (a_1,a_2, ..., a_d) + (a_1',a_2', ..., a_d') = f(g) + f(g')$$
Tenemos $\operatorname{Ker}(f) = \{ g \in G | \; f(g) = 0 \} = \{e \}$ :
Sea $g = \sum_{i = 1}^d a_ig_i \in\operatorname{Ker} (f)$ entonces $$f(g) = (a_1, ...,a_d) = (0, ..., 0) \iff a_i = 0 \; \forall i = 1,2 , ...,d \Rightarrow g = 0.$$ Por lo tanto $\operatorname{Ker}(f) \subseteq \{0\} \Rightarrow\operatorname{Ker}(f) = \{0\}$ y f es una función inyectiva.
Tenemos que $\operatorname{Im}(f) = \mathbb{Z}^d:$
Sea $z =(z_1,z_2, ...,z_d) \in \mathbb{Z}^d$ y definir $g = \sum_{i = 1}^d z_i g_i$ y $f(g) = z$
Por lo tanto $f$ es un isomorfismo y $G \cong \mathbb{Z}^d$
