Edición: Se me ocurrió algún tiempo después de la respuesta original que vas a querer que el operador asignado a la variable formal conmute con la "multiplicación por r". $M_r$ operadores. Pero entonces todo está determinado por dónde se envía 1, y por tanto los operadores que conmutan con el $M_r$ son sólo los $M_r$ y, por lo tanto, las soluciones de cualquier polinomio concreto no son más que la multiplicación por las soluciones reales habituales.
Sin embargo, si se desea algún tipo de anillo consistente en sumas de palabras formales en alguna variable $X$ y números reales, algo de lo que dije a continuación sigue siendo válido y lo mantendré por aquí.
Como señala Asaf, $G := (\mathbb{R},+)$ como $\mathbb{Q}$ -es isomorfo a $FVS_{\mathbb{Q}}(X)$ donde $X$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ y $FVS_k$ es el espacio vectorial libre sobre $k$ functor. Dado que $X \cong \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} X_n$ con $X_n$ también de cardinalidad $2^{ \aleph_0}$ y $FVS$ lleva las uniones disjuntas a sumas directas, tenemos que como $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial, $G \cong \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} G$ y esta descomposición del producto directo también funciona como $\mathbb{Z}$ -módulos.
Ahora, dejemos que $f(X) \in \mathbb{R}[X]$ . Si $f$ tiene más de una solución sobre el anillo de endomorfismos de $G$ , digamos $T_0,T_1$ para cada función $\phi:\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ podemos construir utilizando la descomposición de la suma directa el endomorfismo $\bigoplus_{n \in \mathbb{N}} T_{\phi(n)}:\bigoplus_{n} G \rightarrow \bigoplus_n G$ . Así que si un polinomio tiene más de una solución, tiene que tener infinitas.
