Para 2) creo que lo siguiente es una respuesta: Supongamos que $K$ es un subgrupo Lie compacto de $\mathrm{Diff}(S^n)$ de dimensión $\geq{n+1\choose 2}$ . Al ser compacto es el grupo de isometrías de alguna métrica riemanniana de $S^n$ y fijamos una métrica. Por tanto, el estabilizador de un punto tiene dimensión como máximo $n\choose 2$ (la dimensión del grupo ortogonal de $\mathbb R^n$ ) y como una órbita tiene en dimensión $n$ , $K$ tiene como máximo la dimensión $n+{n\choose 2}={n+1\choose 2}$ y por lo tanto tenemos igualdad. Esto significa que el estabilizador contiene $\mathrm{SO}_n$ y $K$ actúa de forma transitoria. En particular, la métrica fijada por $K$ tiene curvatura constante y entonces la curvatura es positiva y por tanto hasta un es conjugada con la métrica estándar. Esto da una conjugación de $K$ en el grupo de isometría de la esfera estándar.
Anexo : El ejemplo de Tom da que la dimensión de un grupo no compacto que actúa (fielmente) sobre $S^n$ no tiene límites. Queda pendiente una cuestión, a saber si la dimensión de una acción de grupo semisimple está acotada o no. Según lo anterior obtenemos un límite para la dimensión de un subgrupo compacto máximo. En muchos casos En muchos casos, esto parece limitar la dimensión del propio grupo. Por ejemplo, ¿está acotada la si el centro es finito? En ese caso la situación es completamente descrita por una descomposición de Cartan del álgebra de Lie. pregunta es si la $-1$ -parte (normalmente denotada $\mathfrak p$ ) del mismo tiene dimensión limitada por la dimensión del $+1$ -(el álgebra de Lie del compacta máxima). Yo mismo no sé lo suficiente de la teoría de grupos de Lie reales para decidir eso.
Un ejemplo aparte es la cobertura universal $G$ de $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ . Es contractible y no tiene ningún subgrupo conexo compacto no trivial. También actúa sobre la cubierta universal de $S^1$ (compatible con la acción proyectiva de $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ en $S^1$ ) y, por tanto, actúa de forma continua sobre $[-1,1]$ (digamos) fijar los puntos finales. Sin embargo, la acción en los puntos extremos no es plana, por lo que esta acción no se extiende a una acción suave sobre $\mathbb R$ actuando como identidad exterior si $[-1,1]$ . Si se pudiera modificar para hacerlo se podría utilizar el argumento de Tom para obtener una acción de cualquier producto finito de copias de $G$ (al menos en $S^1$ ). Se podría intentar encontrar tres campos vectoriales con soporte en $[-1,1]$ cumpliendo las relaciones definitorias de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ pero parece difícil para mí.
Anexo 1 : Para ser más precisos sobre la acción en $[-1,1]$ podemos utilizar $\tanh$ como difeomorfismo de $\mathbb R$ a $(-1,1)$ . El grupo de rotación de $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ se eleva al grupo de traslaciones de $\mathbb R$ y corresponden bajo este difeomorfismo a $\varphi_\lambda(t)=(\lambda t+1)/(t+\lambda)$ de $(-1,1)$ para $\lambda>1$ o $\lambda<-1$ (echamos de menos el mapa de identidad que corresponde a $\lambda=\pm\infty$ ). Ahora bien, una posibilidad de obtener una acción de $G$ en $\mathbb R$ que es la identidad fuera de $(-1,1)$ es tratando de conjugar la que tenemos por un difeomorfismo $\gamma$ de $(-1,1)$ . Esto requiere que cada conjugado sea plano en $\pm1$ donde un difeomorfismo $\psi$ de $(-1,1)$ es plana en $1$ si $\psi(x)=x+\mathcal{O}(|x-1|^n)$ para todos $n$ y $x$ cerca de $1$ (y análogamente para $-1$ ). Supongamos ahora que tenemos un $\gamma$ tal que conjugando la acción dada de $G$ por ella da una acción todos cuyos elementos son planos. En particular tenemos $\gamma(\varphi_\lambda(\gamma^{-1}(x)))=x+\mathcal{O}(|x-1|^n)$ para todos $n$ . En particular, poner $n=2$ obtenemos que $\lim_{t\to1}\gamma'(\varphi_\lambda(\gamma^{-1}(t)))\varphi_\lambda'(\gamma^{-1}(t))\gamma'(\gamma^{-1}(t))^{-1}=1$ y poniendo $s=\gamma^{-1}(t)$ usando eso $\lim_{t\to1}\gamma^{-1}(t)=1$ y que $\lim_{s\to1}\varphi_\lambda'(s)=\varphi_\lambda'(1)=(\lambda-1)/(\lambda+1)$ esto da $\lim_{s\to1}\gamma'(\varphi_\lambda(s))/\gamma'(s)=(\lambda+1)/(\lambda-1)$ . Esto pone un condición $\gamma$ y entonces también debe cumplirse la misma condición para $\varphi_\lambda$ sustituido por cualquier elemento de $G$ (además de necesitar la planitud para todos los pedidos $n$ ).
