Momento angular - prueba para valores propios enteros o semienteros

Question

Estoy confundido acerca de una prueba que mi libro de texto de Mecánica Cuántica ha dejado "como ejercicio para el lector".

Entonces, tenemos el operador de momento angular $\hat{L}$ . También tenemos el momento angular generalizado $\hat{J}: \hat{L}=\hbar\hat{J}$ . Tenemos las relaciones de conmutación $[\hat{J_k},\hat{J_l}]$ y $[\hat{J^2},\hat{J_k}]$ .

Hemos introducido a los "operadores de escalera" $\hat{J_+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{J_1}+i\hat{J_2})$ y $\hat{J_-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{J_1}-i\hat{J_2})$ .

A continuación, pasamos a demostrar tres propiedades para los valores propios y los vectores propios de $\hat{J^2}$ y $\hat{J_3}$ : $\hat{J^2}\left|J,m\right\rangle=J^2\left|J,m\right\rangle$ , $\hat{J_3}\left|J,m\right\rangle=m\left|J,m\right\rangle$ :

1. $m^2\leq J^2$ (por lo que existen mínimos y máximos $m$ s).

2. $J_+$ "aumenta" $m$ a $m+1$ , $J_-$ "baja" $m$ a $m-1$ .

3. $j$ (que procede de $J^2 \rightarrow j(j+1)$ ) es un número entero o semientero.

La pregunta que plantea mi libro de texto es: ¿Por qué $\Delta m$ ¿un número entero?

Pensé que se debía a la segunda propiedad, pero cuando pregunté a mi profesor, me dijo que no era una buena prueba. " $J_+$ cambiando $m$ de 0 a 1 no demuestra que $\Delta m = 1/3$ es imposible".

¿Cómo puedo demostrarlo? Pensé que era bastante trivial, pero resultó que no lo es.

P.D.: Ya he visto esta pregunta pero no me ayuda mucho.

Edita: Puede que me haya "perdido en la traducción". La verdadera pregunta de mi libro de texto es ¿Por qué $\Delta m$ ¿un número entero?

Answer 1

Tus puntos ,1-3 están bien. Hay un valor máximo y un valor mínimo de $m$ . Llamamos valor máximo $M$ (hay que llamarlo de alguna manera). Ahora podemos aplicar el operador inferior cualquier número de veces, cada vez que disminuye el valor de $m$ en una cantidad entera. El valor máximo y mínimo tienen una diferencia finita $d$ . Así que si redondeas $d$ hasta el número entero más próximo $n$ se ve que aplicando el operador de descenso $n$ veces debe producir el estado de menor $m$ (o bien alcanzar primero un estado de magnitud cero). Así que un número finito de aplicaciones del operador de descenso envió el valor máximo $M$ al valor mínimo, por lo que difieren en una cantidad entera (cada vez que se baja, $m$ bajó en 1). Por tanto, los valores máximo y mínimo de $m$ difieren en un número entero.

Para mí, esta es la prueba de que $j=M$ es un valor entero o semientero ( $n=j-(-j)=2j$ ). Parece que tus pruebas están al revés y además intentas demostrar una afirmación falsa (que $m$ debe ser entero cuando, por ejemplo, el espín de una partícula de espín 1/2 puede tener $m=1/2$ ).

Para mostrar explícitamente que m=1/2 es posible, dejemos que $J_x=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_x$ , $J_y=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_y$ , $J_z=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_z$ y $J^2=\hbar^23/4\left( \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\right)$ . Obsérvese entonces que satisfacen las relaciones de conmutación. Obsérvese entonces que los valores propios de $J_z$ son $\pm \hbar/2$ de ahí $m=\pm 1/2$ por definición.

Por lo tanto, es imposible demostrar su deseada afirmación de que $m$ es un entero de la hyopthesi ya que el párrafo anterior satisface la hypothesi y sin embargo la conclusión es falsa ya que $m=1/2$ no es un entero pero es un valor perfectamente correcto.

Respuesta a la pregunta editada

Si tiene dos valores de $m$ que difieren en un número no entero, el operador de reducción aplicado varias veces a cada uno de ellos no puede detenerse en el mismo valor mínimo. $m$ estado. Así que tendría que haber un estado además de la más baja $m$ estado que es enviado a cero por el operador de descenso.

Demuestre (o asuma) que eso no puede ocurrir y estará prácticamente acabado.

Answer 2

Su punto 1. demuestra que si $j$ (supuesto $>0$ ) es el valor máximo de $m$ entonces $-j$ es el valor más bajo, es decir, las condiciones son simétricas en $m$ .

Su punto 2. muestra que debe ser capaz de alcanzar $j$ de $-j$ utilizando un número entero de pasos, que es lo mismo que decir $2j$ debe ser un número entero.

En cuanto a su pregunta final: ya que ha demostrado que $J_\pm$ aumentar o disminuir en 1, empezar con el valor máximo de $m$ que es $j$ y "bajar la manivela" utilizando $J_-$ . Sólo se puede llegar a los estados con $m$ dados por $j,j-1,\ldots,-j$ .

Supongamos, en aras del debate, que su $j=4/3$ de modo que $2j$ no es un número entero. Aplicando $J_-$ produce repetidamente la secuencia de $m$ valores $4/3,1/3,-2/3$ . Es fácil ver que el más pequeño $m$ no es el negativo del mayor $m$ ; esta secuencia de $m$ 's no tiene ningún significado físico, ya que la inversión del $z$ eje sólo debe invertir el signo de la proyección $m$ justificando la simetría en el signo de $m$ encapsulado en su punto 1. Por otra parte nunca se obtiene nada más que $\Delta m=\pm 1$ .