Problema del principio de inclusión-exclusión

Question

Se encuestó a 172 ejecutivos de empresas para determinar si leían regularmente las revistas Fortune, Time o Money. 80 leen Fortune, 70 leen Time, 47 leen Money, 47 leen exactamente dos de las tres revistas, 26 leen Fortune y Time, 28 leen Time y Money, y 7 leen las tres revistas. ¿Cuántos no leen ninguna de las tres revistas?

Así que lo que traté de hacer fue denotar Tiempo como $T$ Fortuna como $F$ y Dinero como $M$ . Entonces quise hacer $172 - |T \cup F \cup M|$ . Para encontrar esa cantidad, intenté hacer el principio de inclusión exclusión. He encontrado $|F \cup M|$ ser $14$ observando un diagrama de Venn ( $26-7 + 28-7 + x = 47 -> x = 7$ entonces $7+7 = 14$ ), pero creo que aquí es donde las cosas fueron mal. Tengo $|T \cup F \cup M| = 80 + 70 + 47 - 26 - 28 - 14 + 7 $ por lo que la respuesta sería 53, pero eso es falso.

Answer 1

Se nos da explícitamente que \begin{align*} |F| &= 80\\ |T| &= 70\\ |M| &= 47\\ |F\cap T| &= 26\\ |T\cap M| &= 28\\ |F\cap T\cap M| &= 7. \end{align*}

También conseguimos que 47 diga "exactamente dos". Si se considera un Diagrama de Venn no es difícil ver que corresponde a la ecuación \begin{align*} &|F\cap T| + |T\cap M|+ |F\cap M|-3|F\cap T\cap M|=47\\ \implies & 26 + 28 + |F\cap M| - 3(7) = 47\\ \implies & |F\cap M| = 14. \end{align*}

De este modo, puede conectar todo esto a la inclusión-exclusión: \begin{align*} |F \cup T\cup M| &= |F|+|T|+|M| - |F\cap T| - |T\cap M|- |F\cap M| + |F\cap T\cap M|\\ &= 80+70+47-26-28-14+7=136, \end{align*}

y por tanto la respuesta es $172-136=\boxed{\text{36 people}}$ .

Answer 2

En su expresión $|T \cup F \cup M| = 80 + 70 + 47 - 26 - 28 - 14 + 7=136$ .

Esto da una solución de $36$ no $53$ .

Answer 3

Tenemos:

$$|T \cup F \cup M| = |T| + |F| + |M| - |T \cap F| - |T \cap M| - |F \cap M| + |T \cap F \cap M|$$ $$= 70 + 80 + 47 - 26 - 28 - 14 + 7 = 136$$

Entonces, el número de personas que no leen ninguna revista es igual:

$$172 - |T \cup F \cup M| = 36$$