Para un vector positivo $\alpha\in\mathbb{R}^n$ ( $n\geq 1$ ), denotemos por $\text{Dir}(\alpha)$ la distribución Dirichlet con parámetro $\alpha$ . En términos de convergencia débil, ¿es cierto que, si $\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i=1$ entonces $\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\text{Dir}(\varepsilon\alpha)\longrightarrow \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \delta_{\lbrace e_i\rbrace}$ (donde $(e_i)_{1\leq i\leq n}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^n$ )?
Respuesta
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$\newcommand\Ga\Gamma\newcommand\R{\mathbb R}$ Para cualquier $a=(a_1,\dots,a_n)\in(0,\infty)^n$ y cualquier $t\in(0,1/2)$ , dejemos que $X=(X_1,\dots,X_n)$ tienen la distribución Dirichlet con parámetro $ta$ . Entonces $X_1$ tiene la distribución beta con parámetros $ta_1$ y $tb_1$ donde $b_1:=s-a_1$ y $$s:=a_1+\dots+a_n.$$
Sea $t\downarrow0$ . Entonces $\Ga(t)=\Ga(1+t)/t\sim1/t$ y por lo tanto
$$P(X_1>1-t)=\frac{\Ga(ts)}{\Ga(ta_1)\Ga(tb_1)}\,J \sim\frac{ta_1b_1}s\,J,$$ donde $$J:=\int_{1-t}^1 x^{ta_1-1}(1-x)^{tb_1-1}\,dx \sim\int_{1-t}^1 (1-x)^{tb_1-1}\,dx=\frac{t^{tb_1}}{tb_1}\sim\frac1{tb_1},$$ para que $P(X_1>1-t)\to\dfrac{a_1}s$ . Del mismo modo, para cada $j\in[n]:=\{1,\dots,n\}$ , $$P(X_j>1-t)\to\dfrac{a_j}s.$$ Por lo tanto, $$P(X_j\le 1-t\ \forall j\in[n])\to1-\sum_{j=1}^n\dfrac{a_j}s=0.$$
Así, para cualquier función continua $f\colon\R^n\to\R$ , $$Ef(X)=\sum_{j=1}^n Ef(X)1(X_j>1-t)+Ef(X)1(X_j\le 1-t\ \forall j\in[n]) \to\sum_{j=1}^n f(e_j)\dfrac{a_j}s+0,$$ donde $e_j$ es el $j$ vector de base estándar de $\R^n$ ; aquí utilizamos las implicaciones $X_j>1-t\iff1>X_j>1-t\implies0<X_i<t<1-t\ \forall i\in[n]\setminus\{j\}$ .
Así, la distribución Dirichlet con parámetro $ta$ converge a $\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{a_j}s \delta_{\{e_i\}}$ como $t\downarrow0$ . Es decir, su conjetura es válida si $s=1$ .
