Problema de reflexión interna total: ¿podría estar equivocado el libro de texto?

Question

Se trata del siguiente problema:

Un rayo de luz se desplaza por un cristal e incide en una interfase cristal/líquido. El ángulo de incidencia es $58.0^\circ$ y el índice de refracción del vidrio es $n = 1.50$ . ¿Cuál es el mayor índice de refracción que puede tener el líquido, de forma que ninguna parte de la luz se transmita al líquido y toda se refleje en el cristal?

Mi solución: Tenemos $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ . Queremos maximizar $n_2$ proporcionado $90^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ . Introduciendo nuestros datos, tenemos $(1.50)(\sin 58^\circ) = n_2 \sin \theta_2 \rightarrow n_2 = \frac{(1.50)(\sin 58^\circ)}{\sin \theta_2}$ . Como queremos maximizar $n_2$ debemos minimizar $\sin \theta_2$ que puede ser cualquier valor de $(0, 1]$ por lo que no hay límite teórico al tamaño de $n_2$ (según esta matemática)

Sin embargo, el libro de texto dice que el máximo correcto es $1.27$ que está tomando $\theta_2 = 90^\circ$ . No creo que esto sea correcto en absoluto, ya que si algo es el mínimo . Considere $1 < n_2 < 1.27$ . Entonces $1.27 > \sin \theta_2 > 1$ lo cual es imposible dado el rango de la función seno sobre los reales.

¿Quién tiene razón?

Answer 1

El libro de texto tiene razón, basta con introducir algunos números: (digamos $n_2=1.3>1.27$ )

$$1.5*\sin 58^\circ = 1.3* \sin \theta_2 $$ $$ \sin \theta_2=\frac{1.5}{1.3}*\sin 58^\circ$$ $$\theta_2=78^\circ <90^\circ$$

Y si nos atenemos a la definición habitual de $\theta_2$ ( https://en.wikipedia.org/wiki/File:Snells_law2.svg ) entonces esto significaría que el rayo entraría en el líquido. Por eso es el mayor índice de refracción: porque para cualquier índice mayor, como se ha calculado anteriormente, el haz no se refleja.

(Puedes ver tu problema de esta manera: el ángulo crítico ( $\theta_c=58^\circ$ ) ya se le ha dado (por eso $\theta_2=90^\circ$ ) y se busca el índice de refracción del líquido).

Y teniendo en cuenta su $1 < n_2 < 1.27$ y la imposibilidad de $sin(\theta_2)>1$ argumento: este es exactamente el sentido de la T.I.R. Digamos que tienes n=1 para el aire. Entonces $sin(\theta_2)=1.27$ obviamente. Ahora dices que esto es imposible, y lo es. Pero tienes que recordar que la ley de Snell está formulada para el incidente y refractado viga.

http://scienceworld.wolfram.com/physics/SnellsLaw.html

Desde $sin(\theta_2)>1$ no es posible para ningún refractado $\theta$ no hay refracción y sólo reflexión .

Answer 2

Para la reflexión interna total, $(\theta_2)\ge90$ por lo que podemos calcular el mínimo $n_2$ necesaria para la reflexión interna total ajustando $\theta_2=90$ .

$$n_1 sin(\theta_1)=n_2 sin(\theta_2)$$ $$1.50 \cdot sin(58^{o})=n_2 sin(90)$$ $$\dfrac{1.50 \cdot sin(58^{o})}{sin(90)}=n_2$$ $$\therefore n_2=1.27$$

Entonces, tu libro de texto tiene razón