¿Cuándo es $\sqrt{a^2}=\pm a$ y cuando es $\sqrt{a^2}=a$ ?

Question

Cuando derivamos alguna fórmula y tenemos que hacer enormes expansiones algebraicas que tienen que ver con potencias crecientes, utilizamos las reglas de los exponentes sin pensar y nunca escribimos el $\pm$ símbolo. ¿Por qué es así?

Mi razonamiento es que escribimos $\pm$ cuando se busca un conjunto de soluciones (por ejemplo $x^2=4\implies x=\pm2$ ) pero no cuando conocemos la identidad exacta de $x$ . Si conocemos la identidad exacta de un símbolo, podemos utilizar las reglas de los exponentes. Por ejemplo, $2=\sqrt{2^2}$ parece más válido que $2=\sqrt{4}$ (ya que en el primer caso estamos claramente deshaciendo una operación sobre el número 2, que podría haber sido un símbolo como $a$ ), si es que eso tiene algún sentido. Sé que es una estupidez, pero bueno, me gustaría ver lo que piensas.

Un problema de la $\pm$ notación es que no podremos hacer cosas como $a\sqrt{4}=\sqrt{a^24}$ donde se hacen trucos como estos todo el tiempo .

Answer 1

En realidad, nunca. $\sqrt{b}$ por definición, es el no negativo solución a la ecuación $x^2 = b$ .

Esto significa que, por definición, $\sqrt{a^2} = |a|$ para todos los valores reales de $a$ .

Answer 2

Cuando escriba $x^2=4\implies x=\pm2$ ¿Qué justifica exactamente esa implicación?

Se empieza con dos expresiones iguales: $x^2=4$ .

Se puede aplicar la misma función a ambos lados de la ecuación y seguir teniendo igualdad. Así que $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$ .

Aquí es donde muchos estudiantes han sido mal enseñados. Se les ha enseñado que el $\sqrt{}$ "cancela" el ${}^2$ , dejando $x$ a la izquierda. Y se les ha enseñado que $\sqrt{4}=\pm2$ . Ambas cosas son incorrectas. Qué realmente debería ser la siguiente línea es $$|x|=2$$ porque $\sqrt{4}$ es inequívocamente $2$ y $\sqrt{x^2}$ es, para todos los reales $x$ , $|x|$ .

Así que ahora que sabes $|x|=2$ ¿Qué debe hacer? $x$ ¿ser? ¿Cuántos números reales hay con valor absoluto $2$ ? Sólo $2$ y $-2$ . Así que $x$ podría ser cualquiera de estos. Y nos quedamos con el descuidado resumen $x=\pm2$ .