Pregunta sobre la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass

Question

Actualmente soy una prueba de Bolzano Weierstrass de Abbot. Estoy de acuerdo con todo en la prueba. Pero, una cosa que no me gusta es que ¿por qué sabemos que hay una mitad particular que contiene infinitamente muchos elementos? Por ejemplo, en la primera construcción de $I_1$ en la prueba eligen la mitad del intervalo que contiene infinitos elementos, pero lo que me mosquea es que ¿es posible que las dos mitades contengan infinitos elementos?

Answer 1

Nos importa que una mitad a la vez tenga infinitos elementos pero es posible que ambas mitades tengan infinitos elementos.

Tomemos por ejemplo la secuencia $x_n= \frac{n}{n+1}$ si $n=2k+1$ y $x_n=\frac{1}{n}$ si $n=2k$ .

$x_n \in [0,1]$ y $x_n \in [0,1/2]$ para $n=2k$ y $x_n \in [1/2,1]$ para $n=2k+1$ .