Geometría algebraica utilizada "externamente" (en problemas sin estructura algebraica evidente).

Question

Se trata de solicitar una lista de ejemplos de problemas (u otras situaciones matemáticas) que no sean inicialmente de naturaleza algebro-geométrica, pero que puedan resolverse o comprenderse utilizando la geometría algebraica.

Éstas son algunas aplicaciones no del tipo buscado:

1. Ecuaciones diofánticas u otros problemas cuyos datos básicos se especifican en términos algebraicos, o tienen una traducción inmediata a dichos términos.

2. GAGA o reducción a argumentos de característica finita, pero aplicados a problemas que claramente ya están dentro (o muy cerca) de la esfera algebro-geométrica, que implican variedades o espacios de moduli, o cohomología de tales espacios.

Answer 1

La construcción de determinados Sistemas Steiner es un buen ejemplo.

A $(p, q, r)$ El sistema Steiner es un conjunto de $q$ -subconjuntos de elementos $A$ (llamados bloques) de un $r$ -conjunto de elementos $S$ de forma que cada $p$ -subconjunto de elementos de $S$ está contenido en un único elemento de $A$ . Buenos ejemplos provienen de considerar como bloques el conjunto de hiperplanos en $\mathbb{A}^n$ o $\mathbb{P}^n$ sobre un campo finito. Por ejemplo, $\mathbb{A}^2$ en $\mathbb{F}_3$ da un $(2, 3, 9)$ Sistema Steiner: contiene $9$ ( $\mathbb{F}_3$ -racionales), y que los bloques sean las líneas, cada una de las cuales está formada por $3$ puntos. Entonces cualquier $2$ puntos están contenidos en una única línea. Esta es la única $(2, 3, 9)$ Sistema Steiner.

Answer 2

Existe un mapa único desde permutaciones de 1,2,3... que mueven finitamente muchos números, a sus "polinomios de Schubert" en ${\mathbb Z}[x_1,x_2,...]$ satisfaciendo la siguiente recursión: $S_{id} = 1$ y si $w(i) > w(i+1)$ entonces $S_{w r_i} = (S_w - r_i \cdot S_w) / (x_i - x_{i+1})$ . (Aquí $r_i$ interruptores $i$ y $i+1$ o $x_i$ y $x_{i+1}$ .)

No es demasiado difícil demostrar que estos son polinomios, forman una base del anillo de polinomios, tienen coeficientes positivos, y mucho más. El teorema no evidente es que las constantes de estructura (que expanden un producto de dos elementos de base en la base) son positivas. Las únicas pruebas que se conocen de ello son geométricas.

(Quizá sea un ejemplo poco convincente, ya que la motivación de los polinomios de Schubert era geométrica: representan las clases de variedades de Schubert en los anillos de cohomología de las variedades bandera).

Answer 3

Creo que esto es un ejemplo: En el libro de Arnold de introducción a las EDP, discute el teorema de Maxwell sobre funciones esféricas expresables en términos de derivadas de 1/r. El apéndice da interpretaciones topológicas y geometría algebraica. Desgraciadamente no sé lo suficiente como para dar una mejor descripción.

Answer 4

Un buen ejemplo es el trabajo (no publicado) de Larsen y Pink sobre la clasificación "aproximada" de subgrupos de $\mbox{GL}_n(k)$ . Aquí tienes un enlace: http://www.math.ethz.ch/~pink/ftp/LP5.pdf

En una frase, la idea es estudiar estos subgrupos observando sus "cierres efectivos de Zariski", con lo que se pueden aplicar al problema técnicas de geometría algebraica.

Answer 5

Un resultado clásico en topología de 3 manifoldes es la conjetura de Neuwirth, que afirma que el grupo fundamental de un complemento de nudo es un producto libre de dos subgrupos propios amalgamados a lo largo de un grupo libre. Esta conjetura fue demostrada por Culler y Shalen utilizando la geometría algebraica de las variedades de representación de grupos de 3 manifoldes en $SL_2 C$ . Como se trata de una variedad afín se pueden asociar al menos dos puntos ideales (la no trivialidad de la variedad de representación se deduce del teorema de geometrización de Thurston). A estos puntos ideales se asocia una acción sobre un árbol de Bass-Serre, y entonces una técnica de Stallings asocia a éste una superficie separadora (para al menos un punto ideal) con límite, y el producto amalgamado deseado.