Geometría algebraica utilizada "externamente" (en problemas sin estructura algebraica evidente).

Question

Se trata de solicitar una lista de ejemplos de problemas (u otras situaciones matemáticas) que no sean inicialmente de naturaleza algebro-geométrica, pero que puedan resolverse o comprenderse utilizando la geometría algebraica.

Éstas son algunas aplicaciones no del tipo buscado:

1. Ecuaciones diofánticas u otros problemas cuyos datos básicos se especifican en términos algebraicos, o tienen una traducción inmediata a dichos términos.

2. GAGA o reducción a argumentos de característica finita, pero aplicados a problemas que claramente ya están dentro (o muy cerca) de la esfera algebro-geométrica, que implican variedades o espacios de moduli, o cohomología de tales espacios.

Answer 1

Dado un politopo convexo cuyas facetas son símplices, defina el vector f por f_i = el número de caras i-dim. ¿Qué vectores de enteros son vectores f? Se conjeturó una lista de condiciones, se demostró que eran suficientes mediante la construcción directa de suficientes politopos y se demostró que eran necesarias mediante la aplicación de Lefschetz duro a la variedad tórica (racionalmente lisa) asociada al politopo dual. (Más tarde se obtuvo una prueba combinatoria.) Véase el libro de Fulton sobre variedades tóricas.

Answer 2

Por supuesto, el Teorema de Cayley Hamilton no es realmente difícil, y hay muchas pruebas de ello. Pero hay que admitir que, al menos cuando uno se adentra por primera vez en el álgebra lineal, es bastante sorprendente que baste con demostrar el teorema para matrices diagonales (que es un cálculo muy corto). Porque entonces se puede derivar para matrices diagonalizables, que son densas con respecto a la topología de Zariski (suponiendo, por ejemplo, que el campo de tierra es algebraicamente cerrado). Esto último se debe a que todo subconjunto abierto no vacío es denso, una propiedad bastante extraña pero aquí muy útil.

El mismo procedimiento se aplica a otras identidades polinómicas en álgebra lineal, por ejemplo que los polinomios característicos de $AB$ y $BA$ coinciden.

Answer 3

Representaciones explícitas de la función theta de las soluciones de solitón para los modelos completamente integrables (el trabajo iniciado por Dubrovin, Matveev, Novikov, Krichever, McKean...).

En el caso más sencillo de la ecuación de KdV Los solitones se obtienen a partir de una singularización de la curva hiperelíptica correspondiente. La ecuación de kdV se derivó originalmente para describir ondas en aguas poco profundas y presumiblemente no tenía nada que ver con las curvas hiperelípticas.

Edita. Y finalmente la conexión funcionó también en sentido contrario: una solución de El problema de Shottky que explotaba la integrabilidad de la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili.

Answer 4

El método polinómico es una herramienta poderosa, aunque algo misteriosa y frágil, de la combinatoria extrema, utilizada, por ejemplo, en la prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya sobre campos finitos:

http://terrytao.wordpress.com/2008/03/24/dvirs-proof-of-the-finite-field-kakeya-conjecture/

Ésta es actualmente la única prueba conocida de la conjetura completa. Antes del trabajo de Dvir, los métodos de geometría algebraica no ocupaban un lugar destacado en los resultados parciales anteriores.

Un método relacionado es el de Stepanov para contar puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos, aunque se trata claramente de una cuestión que, para empezar, ya entraba de lleno en el ámbito de la geometría algebraica.

Answer 5

Definir el Ramanujan $\tau$ -función de $\mathbb N \rightarrow \mathbb Z$ como los coeficientes de Fourier del $\Delta$ es decir

$$ \sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24} .$$

Se trata de una función puramente numérica. Ahora la conjetura de Ramanujan dice que

$$|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} $$

para cada primo $p$ que también es una afirmación puramente teórica.

Pierre Deligne lo demostró como consecuencia de las conjeturas de Weil.